Федин Н. Г.

[Несколько уравнений с пределами]Федин Н. Г. [Несколько уравнений с пределами] // Квант. — 1977. — № 10. — С. 39.‍‍

Ниже мы публикуем несколько необычных «уравнений» с выражениями $f_\infty(x)$‍,‍ содержащими бесконечное число операций. Прежде чем их решать, надо разобраться, как понимать такие выражения. Об этом рассказано в статьях А. Егорова‍ и Г. Дорофеева, Н. Розова‍ (см. с. 34 и с. 60 этого номера): такое $f_\infty(x)$‍‍ нужно понимать как предел при $n\to\infty$‍‍ выражения $f_n(x)$‍,‍ в котором наша операция встречается $n$‍‍ раз. В каждой из предлагаемых задач требуется провести целое исследование: аккуратно олределить, о каком именно выражении идёт речь, затем найти все «подозрительные» $x$‍‍ и доказать существование предела.

1. $x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots=1$‍.‍
2. $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\ldots\sqrt{\mathstrut x\ldots}}}}=3$‍.‍
3. $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}=2$‍.‍
4. $\log_2(3^x+\log_2(3^x+\log_2(3^x\ldots)))=5$‍.‍
5. $\sqrt{2+x\sqrt{2+x\sqrt{\mathstrut2+\ldots}}}=14$‍.‍
6. $(x+1)^{(x+1)^{\scriptstyle(x+1)^{~\scriptstyle.~^{\scriptstyle.~^{\scriptstyle.}}}}}=4$‍.‍
7. $\sqrt{3^x+\sqrt{3^x+\sqrt{\mathstrut3^x+\ldots}}}=6$‍.‍