Изображения страниц
Текст статьи Н. В. Геометрические задачи // Квант. — 1976. — № 9. — С. 35.
- Пусть
$D$ — середина стороны$BC$ треугольника$ABC$ и$O$ — центр окружности, вписанной в этот треугольник. Обозначим через$Q$ точку пересечения перпендикуляра, опущенного из точки$D$ на$AO$, с перпендикуляром, опущенным из точки$A$ на$BC$. Доказать, что перпендикуляр, опущенный из точки$Q$ на$DO$, проходит через точку касания вписанной окружности и стороны$BC$. - Высоты треугольника
$AD$, $BE$, $CH$ треугольника$ABC$ пересекают его стороны в точках$D$, $E$, $H$. Доказать, что прямые, соединяющие вершины$A$, $B$, $C$ с серединами отрезков$EH$, $HD$ и$DE$ соответственно, пересекаются в одной точке. - Доказать ту же теорему, заменив высоты биссектрисами или медианами.
- Высоты треугольника
- Длины медиан
$AM$, $BN$, $CQ$ треугольника$ABC$ образуют геометрическую прогрессию. Доказать, что $$ 2\cos\widehat B=2h\pm\sqrt{3(h^2-1)}, $$ где$h=\dfrac{a^2+c^2}{ac}$. - Через точку
$E$, лежащую внутри окружности, проведена хорда$HEK$. Пусть$EM$ и$EP$ — перпендикуляры, опущенные из точки$E$ на касательные к окружности, проведённые в точках$H$ и$K$. Доказать, что$\dfrac1{|EM|}+\dfrac1{|EP|}$ не зависит от выбора хорды. - Найти все прямоугольные треугольники, длины сторон которых — натуральные числа, причём сумма и разность длин гипотенузы и одного из катетов являются точными квадратами.