Текст статьиБеве Л. Мини-геометрия : [комбинаторно-геометрический и отчасти алгебраический трактат] // Квант. — 1976. — № 6. — С. 2—12.
Известна притча об умной сороконожке, которая разучилась ходить, размышляя о том, в каком порядке ей следует переставлять свои многочисленные ножки. Восемьдесят-девяносто лет тому назад похожая история произошла с математиками: они задумались над тем, насколько обоснованны их умозаключения при доказательстве теорем. После почти двадцати лет волнений и напряжённых трудов были выработаны те нормы математической строгости, по которым строится любая «уважающая себя» теория и в наши дни, и стало, наконец, ясно, что математика избежит участи несчастной сороконожки.
Тогда же было спасено от разрушения и реставрировано величественное и вместе с тем стройное здание евклидовой геометрии; с тех пор её вечным фундаментом стали 20 аксиом, описанных Давидом Гильбертом в его «Основаниях геометрии». Евклидову геометрию можно сравнить со знаменитым Кёльнским собором (который строился, достраивался и перестраивался многими поколениями строителей, навсегда селившихся рядом с соборной площадью и передававших детям своё ремесло и рабочее место).
Совсем иначе устроены конечные геометрии: минимум строительного материала — конечное число точек, прямых и плоскостей, минимум правил обращения с этим материалом — три-четыре аксиомы, регулирующие отношения между точками, прямыми и плоскостями.
Может показаться, что в этом царстве «стекла и алюминия» нет ни тайн, ни загадок. Это далеко не так, и вот пример: несмотря на усилия трёх поколений математиков, до сих пор неизвестно, существует ли аффинная конечная плоскость (см. § 1) из 100 точек.
§ 1. Мини-евклидова, а точнее — конечная аффинная плоскость
Элементы, из которых строится мини-плоскость — «точки» и «прямые». (Это всего лишь названия, которые, как увидит читатель, далеки от привычного значения этих слов. Д. Гильберт говорил, что «точки», «прямые» и «плоскости» можно было бы с тем же успехом называть «стульями», «столами» и «кружками».) Точка $A$ может лежать на прямой $a$; то же можно выразить иначе: точка $A$ принадлежит прямой $a$, прямая $a$ проходит через точку $A$, прямая $a$ содержит точку $A$. О точках и прямых допустимы любые другие высказывания, которые можно выразить через это основное отношение: утверждение «прямые $a$ и $b$ пересекаются» означает, что существует единственная точка, которая лежит как на прямой $a$, так и на прямой $B$; «прямые $a$ и $b$ параллельны», если они не пересекаются, и т. д.
Конечную совокупность точек и прямых с отношением «лежать на» или «принадлежать» мы будем называть конечной аффинной плоскостью, если выполнены следующие три аксиомы:
Аксиома A1. Через любые две точки плоскости проходит единственная прямая.
Аксиома А2. Через всякую точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.
Аксиома А3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
Пояснения к аксиомам А1—А3
1. Первая аксиома перенесена сюда из евклидовой геометрии без изменений, вторая соответствует аксиоме о параллельных в евклидовой геометрии (знаменитый Пятый Постулат), третья аксиома избавляет нас от вырожденных геометрий, вроде той, которая изображена на рис. 1, а).
2. В нашей мини-планиметрии лишены смысла высказывания: «точка $A$ принадлежит отрезку $BC$», отрезок $AB$ конгруэнтен отрезку $CD$», «точка $A$ лежит внутри угла $BCD$», «углы $ABC$ и $DEF$ конгруэнтны» и многие, многие другие привычные нам понятия и утверждения.
3. Вся информация о любой прямой содержится в перечне точек, которые лежат на этой прямой; поэтому вполне допустим (хотя совсем и не обязателен) такой взгляд на вещи: плоскость — это конечное множество точек, прямые — разные наборы из этих точек.
Рис. 1. а) «Вырожденная» геометрия (нарушена Аксиома А3!). б) Плоскость с четырьмя точками и шестью прямыми. Прямые $AC$ и $BD$ параллельны!
Минимальная из мини-плоскостей, удовлетворяющих нашим трём аксиомам, содержит четыре точки и шесть прямых; её условное изображение приведено на рис. 1, б. Условность этого рисунка и многих других рисунков в нашем трактате в том, что на нём обычные точки соответствуют точкам конечной плоскости, обычные прямые — прямым конечной плоскости, а обычное отношение принадлежности («лежать на» или «принадлежать») отвечает отношению принадлежности конечной плоскости. Но не всегда конфигурации конечной плоскости вкладываются в обычную плоскость без каких-либо, иногда забавных, нарушений её евклидовой структуры. Например, на рисунке 1, б диагонали «квадрата» $ABCD$ параллельны друг другу!
Задача 1. Докажите, что любая канечная аффинная плоскость содержит не менее четырёх точек и шести прямых. (Вот почему плоскость на рисунке 1, б) минимальна.)
Итак, фундамент заложен. Построение геометрии на конечной аффинной плоскости мы начнём с нeскольких очевидных теорем; прочитав условие очередной теоремы, попытайтесь доказать её сами, и лишь потом проверьте себя, просмотрев наше доказательство (начало доказательства помечено значком $\square$, а конец — $\blacksquare$).
Теорема А4. Если параллельные прямые имеют общую точку, то они совпадают.
$\square$ По определению параллельные прямые не могут иметь единственную общую точку. Поэтому у них не меньше двух общих точек и по аксиоме А1 они должны совпадать. $\blacksquare$
Теорема А5. Существуют три прямые, попарно пересекающиеся в трёх разных точках.
$\square$ Пусть три точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой (Аксиома А3; рис. 2); тогда три прямых $a$, $b$ и $c$, проходящих по Аксиоме A1 через пары точек $(B,C)$, $(A,C)$, и $(A,B)$ соответственно, попарно пересекаются: прямые $a$ и $b$ — в точке $C$, прямые $a$ и $c$ — в точке $B$, прямые $b$ и $c$ — в точке $A$. $\blacksquare$
Рис. 2. Три прямые $a$, $b$ и $c$ пересекаются в трёх точках.
Теорема А6. Если прямая $a$ параллельна прямой $b$, а прямая $b$ — прямой $c$, то $a$ и $c$ параллельны.
$\square$ Если какие-то две из прямых $a$, $b$ и $c$ совпадают, то утверждение очевидно. Если же все они попарно различны и прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке, скажем $A$, то прямая $b$ не проходит через точку $A$ (иначе прямые $a$ и $b$ не параллельны). Тогда по Аксиоме А2 через точку $A$ может проходить только одна прямая, параллельная прямой $b$, что приводит к противоречию. $\blacksquare$
Доказательства этих трёх простеньких теорем служат, с одной стороны, хорошим примером того, как проводятся в нашей геометрии доказательства, а с другой стороны — основой более сложных доказательств теорем из § 2. Теоремы А7 и А8 дальше не используются, и читателю предлагается доказать их самостоятельно.
Теорема А7. На каждой прямой любой конечной аффинной плоскости лежит не менее двух различных точек.
Теорема А8. В любой точке конечной аффинной плоскости пересекаются не менее трёх прямых.
Мы сравнивали Аксиомы А1—А3 с фундаментом конечной аффинной геометрии — теоремы A4—A8 образуют её «первый этаж».
§ 2. Порядок аффинной плоскости
Из 16 космонавтов нужно выбрать 4 — экипаж космического корабля. Тренировки проводятся с 4 экипажами по 4 человека в каждом. Можно ли составить расписание тренировок таким образом, чтобы любые два космонавта побывали в одном экипаже ровно один раз?
Можно ожидать, что все прямые на нашей плоскости неотличимы друг от друга; по крайней мере так обстоит дело в евклидовой геометрии, где существует возможность наложения одной прямой на другую. В конечной аффинной геометрии такой возможности у нас нет. Поэтому попытаемся обойтись тем, что имеется в нашем распоряжении: проводить прямые, искать точки пересечения прямых и т. п.
Теорема А9. Любые две прямые $e$ и $e'$ конечной аффинной плоскости содержат одинаковое число точек.
$\square$ Каждая из прямых $e$ и $e'$ пересекается по крайней мере с двумя из прямых $a$, $b$ и $c$ Теоремы A5. Поэтому одна из этих трёх прямых, скажем $a$, пересекается как с прямой $e$, так и с прямой $e'$. Установим теперь с помощью этой прямой $a$ взаимно однозначное соответствие между точками прямых $e$ и $e'$.
Для этого каждой точке $A$ на $e$ сопоставим ту точку $A'$ на $e'$, которая получается от пересечения $e$ с прямой $a'$ (А2), проходящей через $A$ и параллельной $a$. При этом разным точкам на $e$ будут соответствовать разные точки на $e'$ (А2); очевидно, также, что любая точка $B'$ на $e'$ будет отвечать нeкоторой точке $B$ на $e$ (см. рис. 3, а). $\blacksquare$
Определение. Порядком конечной аффинной плоскости называется число точек на любой прямой этой плоскости.
Порядок — самая важная числовая характеристика аффинной плоскости. Как мы увидим, нетрудно построить плоскость, порядок которой равен любому заранее указанному простому числу; сложнее (и мы не сможем уделить этому места в нашем трактате) построить плоскость, порядок которой равен степени простого числа. Известно, что не существует плоскости порядка 6, и неизвестно, существует ли плоскость порядка 10.
Рис. 3. а) Пучок параллельных прямых. б) Через точку $A$ проходит столько прямых, сколько точек лежит на прямой $a$, плюс одна.
Теорема, к которой мы сейчас перейдём, является, в каком-то смысле, перевёрнутым изображением А9: в ней поменялись местами точки и плоскости. Такие теоремы называются — двойственными друг другу.
Теорема А10. Через любую точку плоскости проходит одинаковое число прямых: для плоскости порядка $n$ это число равно$n+1$.
$\square$ Пусть $a$ — произвольная прямая; и пусть точка $A$ не принадлежит прямой $a$ (АЗ). Тогда существует единственная прямая, проходящая через точку $A$ и параллельная прямой $a$ (А2), а любая другая прямая, проходящая через точку $A$, пересекается с прямой $a$ в единственной точке (А4), причём разные прямые пересекаются (см. рис. 3, б) в разных точках (A1). Отсюда следует, что число прямых, проходящих через точку $A$, равно числу точек на прямой $a$, т. е. порядку аффинной геометрии (см. А9), увеличенному на единицу. $\blacksquare$
Задача 2. Докажите, что условие задачи М364 («Квант», 1976, №1, см. также эпиграф) эквивалентно утверждению: существует конечная аффинная плоскость порядка 4.
Теорема A11. Если порядок плоскости равен $n$, то любая прямая плоскости принадлежит семейству (пучку), состоящему из $n$ различных попарно параллельных прямых.
$\square$ Пусть $e$ — произвольная прямая, тогда одна из трёх прямых, скажем $a$, теоремы A5 пересекается с прямой $e$ в точке $E$. Очевидно, что через любую точку на прямой $a$, исключая точку $E$, проходит единственная прямая, параллельная прямой $e$ (A2), и наоборот (рис. 4), любая прямая, параллельная прямой $e$, пересекает прямую $a$ в некоторой точке (см. A6). Мы установили взаимно однозначное соответствие между точками прямой $a$ и прямыми пучка параллельных прямых, которому принадлежит прямая $e$. $\blacksquare$
Рис. 4. Пучок прямых, параллельных $e$, строится по точкам прямой $a$.Рис. 5. Два пучка параллельных прямых, пересекаясь, дают все точки плоскости.
Теорема А12. Любая плоскость порядка $n$ содержит $n^2$ точек и $n^2+n$ прямых.
$\square$ Любой пучок прямых, параллельных данной прямой, будет содержать все точки конечной плоскости: в противном случае, по Аксиоме A2 это семейство можно было бы дополнить ещё одной прямой, параллельной данной прямой и проходящей через ещё «не охваченную» пучком точку. Но в любом таком семействе $n$ прямых (А11), а на каждой прямой $n$ точек (А9), т. е. всего $n^2$ точек (рис. 5).
Подсчитаем теперь число прямых на конечной плоскости порядка $n$. Так как через каждую точку плоскости проходит $n+1$ прямых (А10), и так как каждое ceмейство попарно параллельных прямых имеет среди этих $n+1$ прямых своего «представителя» (A2), то общее число таких семейств равно $n+1$, а каждое семейство содержит $n$ прямых (A11), причём всякая прямая попадает ровно в одно такое семейство (A6). Следовательно, общее число прямых на плоскости равно $n(n+1)=n^2+n$. $\blacksquare$
§ 3. О пользе военных парадов, когда их наблюдает великий математик
Свою знаменитую головоломку о 36 офицерах Леонард Эйлер придумал, по-видимому, скучая на одном из многочисленных петербургских дворцовых парадов. Вот её формулировка: среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадёров, и, кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков, и подпоручиков, причём полк каждого из «родов войск» представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить этих офицеров в каре $6\times6$ так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех полков и всех рангов? (Решение этой задачи, когда требуется по тем же правилам построить каре из 25 офицеров, изображено на обложке журнала.)
Проницательный читатель уже связал головоломку Эйлера с задачей построения конечной аффинной плоскости порядка 6, в которой точки будут офицерами, а прямые объединяют офицеров либо одного полка, либо одного ранга. Читатель, разумеется, прав, но с одной оговоркой: мы покажем, что если для некоторого $n$ ($n\gt2$) существует конечная аффинная плоскость порядка $n$, то существует и требуемое расположение $n^2$ офицеров в каре $n\times n$ (у Эйлера $n=6$); однако обратное, вообще говоря, неверно. Например, при $n=14$ плоскости порядка 14 не существует (см. ниже Теорему 2), а задача Эйлера имеет решение.
Задача 3. Постройте 196 офицеров (по 14 офицеров всех 14 рангов из 14 полков) в каре Эйлера $14\times14$.
Согласно Теореме А12 плоскость порядка $n$ содержит $n^2$ точек — они-то и будут нашими офицерами. Из $n+1$ семейства параллельных прямых (см. А10 и A11) выберем четыре различных семейства (для этого должно выполняться неравенство $n+1\ge4$, т. е. $n\gt2$). Чтобы различать эти семейства прямых, присвоим одному из них номер один, другому номер два и т. д. Так же в произвольном порядке занумеруем прямые в каждом из этих четырёх семейств. Все точки, принадлежащие первой прямой первого семейства, назовём гусарами, второй прямой этого семейства — уланами и т. д. — всего $n$ названий полков. Все точки из первой прямой второго семейства мы назовём генералами, второй прямой этого семейства — полковниками и т. д. — всего $n$ рангов.
Задача 4. Докажите, что среди гусаров встречаются офицеры всех рангов; то же с уланами, драгунами и т. д.
Для построения каре мы рассмотрим третье семейство параллельных прямых и сформируем первую колонну каре из «офицеров» первой прямой третьего семейства, вторую колонну — второй прямой и т. д., причём порядок офицеров в каждой колонне будет определяться прямыми четвёртого, последнего семейства: в первой шеренге нашего каре разместятся «участники» первой прямой четвёртого семейства, вторую шеренгу составят офицеры из второй прямой и т. д.
Задача 5. Докажите, что описанный способ построения каре приводит к цели.
§ 4. Красное, чёрное и синее
Головоломка Эйлера привела нас к одному из самых интересных вопросов теории конечных геометрий: какие бывают конечные аффинные плоскости? Для нас, начинающих мини-геометров, было бы достаточно найти ответ на более узкий вопрос: для каких $n$ существует конечная аффинная плоскость порядка $n$?
Полного решения этой проблемы до сих пор нет. Всё, что известно, исчерпывается двумя замечательными теоремами.
Теорема 1. Если число $n$ простое или степень простого, то плоскость порядка $n$ существует.
Мы докажем эту теорему в § 5 для всех простых чисел $n$.
Теорема 2. Если число $n$ при делении на $4$ даёт в остатке $1$ или $2$ и если в разложении этого числа на простые множители встречается в нечётной степени хотя бы одно простое число $p$ вида $p=4k+3,$ то конечной аффинной плоскости порядка $n$ не существует.
Первое из чисел, удовлетворяющих условию теоремы 2, — число $n=6$: $6=4+2$ и $6=2\cdot3$. Итак, плоскости из 36 точек не существует! (Замечательная интуиция Эйлера позволила ему выбрать единственный «сомнительный» случай из большого числа близких: $n^2=9$, 16, 25, 49, 64; когда плоскость по Теореме 1 благополучно существует).
Как уже известно читателю, это ещё не доказывает неразрешимости головоломки Эйлера (см., например, задачу 3). Однако она действительно неразрешима! Это было доказано в 1900 году скрупулёзным перебором всех возможных вариантов построения каре.
Трудная Теорема 2 была доказана сравнительно недавно (1949 год); она позволяет исключить из рассмотрения бесконечно много чисел, например числа 77 и 78. На рисунке 6 приведены первые сто натуральных чисел, раскрашенные в три цвета: синие — это те числа, для которых по Teopемe 1 существует плоскость соответствующего порядка, красные — числа, для которых по Теореме 2 такой плоскости не существует, а для чёрных чисел открыта пока как первая, так и вторая возможности.
Terra incognita чёрных чисел начинается с числа 10 (хотя $10=2\cdot4+2$, но $10=2\cdot5$, причём ни 2, ни 5 при делении на 4 не дают в остатке 3). С момента открытия конечных аффинных геометрий (начала ХХ века) было немало попыток построить плоскость такого порядка, в том числе и совсем недавних — с помощью самых современных вычислительных машин, но все они окончились неудачно: никому не удалось построить больше шести семейств параллельных прямых разыскиваемой плоскости, хотя по (А12) таких семейств должно быть ровно одиннадцать!
§ 5. Координатный метод
Пусть $n$ — целое число, большее единицы. Мы попытаемся построить конечную аффинную плоскость порядка $n$, введя на нашем множестве координаты. Действуя так, мы подражаем великому примеру Рене Декарта, систематически сводившего именно геометрические задачи на евклидовой плоскости к соответствующим алгебраическим задачам.
Итак, расположим $n^2$ точек в виде квадрата $n\times n$ в узлах разграфлённой в клетку бумаги, как это сделано на рисунке 7 для $n=5$. Перенумеруем вертикальные и горизонтальные ряды узлов целыми числами от $0$ до $n-1$ и сопоставим каждой точке на будущей конечной плоскости пару координат $(x,y)$, где $y$ — это номер горизонтального, а $x$ — номер вертикального из тех двух рядов, на пересечении которых лежит эта точка.
Рис. 7. Так вводятся координаты на аффинной плоскости (например, точка $A$ имеет координаты $(2,2)$). Наоборот, из набора $n^2$ точек ($n=5$), заданных координатами, можно построить аффинную плоскость.
Что же считать прямыми плоскости? Разумеется, любой горизонтальный или вертикальный ряд узлов. Кроме того, любой набор (не менее двух) узлов, лежащих на одной евклидовой прямой в пределах квадрата $n\times n$. Условимся только «возвращать» всякую такую прямую так, как это показано на рисунке 8.
Рис. 8
Задача 6. Докажите, что после некоторого числа таких «скачков» мы вновь попадём на исходную прямую и что число узлов, через которые мы при этом «пройдём», не превосходит $n$.
Набор «пройденных» нами вдоль одной «скачущей» прямой узлов мы и будем считать прямой.
Эта идея действительно позволяет построить плоскость порядка $n$, когда $n$ — простое число. Мы рассмотрим арифметический вариант такого определения плоскости, оставив читателю аккуратное проведение намеченной нами геометрической конструкции.
Задача 7. Покажите, что если $n$ — произвольное натуральное число (не обязательно простое), то таким способом можно определить $\phi(n)+1$ семейств параллельных прямых, где $\phi(n)$ — функция Эйлера (!) ($\phi(n)$ равно количеству натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$).
Итак, пусть $n=p$ — простое число. Очевидно, что для любого целого числа $m$ найдётся единственное число из набора чисел $\mathrm F_p=\{0{,}~1{,}~2{,}~{\ldots}{,}~p-1\}$, равное остатку от деления $m$ на $p$; обозначим это число через $\{m\}_p$. Теперь для любых двух чисел $a$ и $b$ из набора $\mathrm F_p$, мы определим две операции: $p$-сложение и $p$-умножение, положив: $a\oplus_pb=\{a+b\}_p$, $a\otimes_pb=\{a\cdot b\}_p$, где $a+b$ и $a\cdot b$ — обычные сумма и произведение чисел $a$ и $b$. Очевидно, что для любых двух чисел $a$ и $b$ из набора $\mathrm F_p$, $p$-сумма и $p$-произведение снова принадлежат $\mathrm F_p$. Столь же очевидны простые свойства этих операций, сформулированные ниже в Teopeмaх П1—П9 (пожалуй, лишь Теорема П8 потруднее остальных). Трудолюбивому читателю следует воспринимать их как упражнения.
Теорема П1. (Свойство нуля.) $a\oplus_p0=0\oplus_pa=a$ для любого$a\in\mathrm F_p$.
Теорема П2. (Свойство единицы.) $a\otimes_p1=1\otimes_pa=a$ для любого$a\in\mathrm F_p$.
Теорема П3. (Ассоциативность сложения.) $(a\oplus_pb)\oplus_pc=a\oplus_p(b\oplus_pc)$ для любых$a$, $b$, $c\in\mathrm F_p$.
Теорема П4. (Ассоциативность умножения.) $(a\otimes_pb)\otimes_pc=a\otimes_p(b\otimes_pc)$ для любых$a$, $b$, $c\in\mathrm F_p$.
Теорема П5. (Коммутативность сложения.) Для любых$a$, $b\in\mathrm F_p$ $a\oplus_pb=b\oplus_pa$.
Теорема П6. (Коммутативность умножения.) Для любых$a$, $b\in\mathrm F_p$ $a\otimes_pb=b\otimes_pa$.
Теорема П7. (Обратимость сложения.) Для любых двух элементов $a$ и $b$ из $\mathrm F_p$ существует единственный элемент $c\in\mathrm F_p$, для которого $a\oplus_pc=b$.
Теорема П8. (Обратимость умножения.) Для любого $a\in\mathrm F_p$, не равного нулю, и любого $b\in\mathrm F_p$ cyществует единственный элемент $c$, для которого $a\otimes_pc=b$.
Теорема П9. (Дистрибутивный, или распределительный закон.) Для любых трёх элементов$a$, $b$, $c$ из$\mathrm F_p$
$$
a\otimes_p(b\oplus_pc)=(a\otimes_pb)\oplus_p(a\otimes_pc).
$$
Используя множество $\mathrm F_p$ и введённые на нём операции, мы определим теперь конечную аффинную плоскость порядка $p$. Точками этой плоскости будем называть пары чисел $(x,y)$, где $x$, $y\in\mathrm F_p$; всего имеется $p^2$ таких пар. Прямой этой плоскости будем называть любое множество таких пар, координаты которых удовлетворяют либо некоторому уравнению вида $x=s$, где $s$ — элемент набора $\mathrm F_p$, либо уравнению вида $y=a\otimes_px\oplus_pb$, где оба числа $a$, $b$ принадлежат набору $\mathrm F_p$.
$\hphantom0
\def\0{\mathclap{\textcolor{black}{\textit0}}\vphantom{\dfrac12}}
\def\1{\mathclap{\textcolor{black}{\textit1}}\vphantom{\dfrac12}}
\def\2{\mathclap{\textcolor{black}{\textit2}}\vphantom{\dfrac12}}
\def\3{\mathclap{\textcolor{black}{\textit3}}\vphantom{\dfrac12}}
\def\l#1{\mathllap{\mathclap{\textcolor{black}#1}\hskip2em}}
\def\t#1{\smash{\mathclap{\textcolor{black}{\raisebox{2em}{#1}}}}}
\colsep{0pt}{\begin{array}{c}\\[-3em]\mathclap{\textcolor{287ED9}{\bigoplus}}\\[8em]\end{array}}\quad
\textcolor{red}{\colsep{1em}{\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\l0\t0\0&\t1\1&\t2\2&\t3\3\\\hline
\l1\1&\2&\3&\0\\\hline
\l2\2&\3&\0&\1\\\hline
\l3\3&\0&\1&\2\\\hline
\end{array}^{\vphantom{\Bigg)}}}}
\quad\hphantom0
\colsep{0pt}{\begin{array}{c}\\[-3em]\mathclap{\textcolor{287ED9}{\bigotimes}}\\[8em]\end{array}}\quad
\textcolor{red}{\colsep{1em}{\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\l0\t0\0&\t1\0&\t2\0&\t3\0\\\hline
\l1\0&\1&\2&\3\\\hline
\l2\0&\2&\3&\1\\\hline
\l3\0&\3&\1&\2\\\hline
\end{array}}}$
Рис. 9. Таблицы сложения и умножения конечного поля из четырёх элементов.
Мы предоставляем читателю проверку справедливости Аксиом A1—A3 при таком определении точек и прямых. (Для доказательства утверждения, эквивалентного, например, (A1), нужно показать, что любые две точки $A=(c,d)$ и $B=(e,j)$ могут удовлетворять только одному уравнению либо вида $x=s$, либо вида $y=a\otimes_px\oplus_pb$; при проверке следует воспользоваться свойствами операций $\oplus_p$ и $\otimes_p$, сформулированными в Теоремах П1—П9.) Тем самым будет завершено доказательство той части Теоремы 1, в которой идёт речь о простых значениях порядка $n$ плоскости.
Полезно понимать, что для нашего построения была существенна не арифметическая природа чисел из набора $\mathrm F_p$, и даже не простота числа $p$, а только те свойства элементов набора, которые описываются Теоремами П1—П9. Мы могли рассмотреть произвольное конечное множество $\mathrm F_p$, лишь бы в нём были определены: а) две операции, первую из которых мы будем называть сложением, а вторую умножением, б) два особых элемента, первый из которых мы будем называть (и обозначать) нулём, а второй — единицей, и, наконец, лишь бы эти операции и эти два выделенных элемента удовлетворяли требованиям Теорем П1—П9.
Множество $\mathrm F$ с такими свойствами называют конечным полем.
Вот пример конечного поля с 4 элементами: $\mathrm F_4=\{0,1,2,3\}$, операции которого определены согласно таблицам рисунка 9. Соответствующая конечная аффинная плоскость порядка 4 с «красно-зелёной» координатной сеткой изображена на рисунке 10. Одновременно этот рисунок служит решением уже упомянутой (эпиграф к § 2) задачи о 16 космонавтах: каждое семейство параллельных прямых — это разделение 16 космонавтов на 4 экипажа, каждая прямая такого семейства — один экипаж.
Рис. 10. Каждому семейству параллельных отвечает свой цвет; для трёх семейств (синего, чёрного, пунктирного) на каждом рисунке изображено по одной прямой.
Приведём без доказательства основную теорему о конечных полях.
Теорема. Число $q$ элементов любого конечного поля есть степень простого числа $q=p^m$. Наоборот, для любого $q=p^m$, где $p$ — простое число, а $m$ — произвольное натуральное, найдётся единственное конечное поле $\mathrm F_q$, с $q$ элементами.
Из справедливости этой теоремы и вытекает существование конечной аффинной плоскости порядка $q=p^m$.
§ 6. Эпилог
В отличие от романа или пьесы преждевременное раскрытие замысла не является недостатком научного исследования.
Дж. Гэлбрейт
Итак, вопрос о существовании конечных аффинных плоскостей данного порядка несколько прояснился: есть запрещённые значения (красные числа на рис. 6), есть неисследованные значения (чёрные числа там же) и есть разрешённые значения — простые числа и их степени (синие числа), для которых существует способ построения плоскости.
Но вот единственный ли этот способ?! Нет ли каких-либо других плоскостей для данного порядка $q=p^m$?
В самом деле, Теорема о конечных полях (§ 5) запрещает существование полей, отличных от некоторых стандартных полей $\mathrm F_q$ (их называют в честь Эвариста Галуа полями Галуа); с простейшими из этих полей — полями $\mathrm F_p$, — вы на самом деле уже встречались на страницах «Кванта» — в статье А. Бельского и Л. Садовского «Кольца» («Квант», 1974, №2 — см. задачи 2 и 3 на с. 7 этого номера), но не препятствует существованию плоскостей того же порядка $q=p^m$, отличных от стандартных. Удалось показать, что все плоскости, чей порядок не превосходят числа 8, могут быть лишь стандартными, и построить нестандартную плоскость порядка 9.
Прощаясь с читателем, автор трактата горячо рекомендует ему прочесть две замечательные книги Э. Артина и М. Холла, где предмет трактата освещён одинаково интересно, хотя и с разных сторон.
