Текст статьи Шарыгин И. Ф. Достраивание тетраэдра // Квант. — 1976. — № 1. — С. 61—64.
Один из красивых приёмов, который может быть использован при решении геометрических задач, состоит в замене изучаемой геометрической фигуры другой, в каком-то смысле более удобной. Так, например, если в условии задачи фигурирует треугольник, в котором проведена медиана, часто полезно достроить этот треугольник до параллелограмма, продолжая медиану на расстояние, равное ей самой. В данной статье рассматриваются несколько задач про треугольную пирамиду — тетраэдр, — которые оказывается возможным решить, достраивая тетраэдр до другого многогранника (как правило, параллелепипеда).
Первый способ достраивания пирамиды до параллелепипеда изображён на рисунке 1. Здесь
Задача 1. (Пункт а) задачи предлагался на вступительном экзамене на механико-математическом факультете МГУ.) Дана треугольная пирамида
- Доказать, что вершина
$A$ пирамиды, точка пересечения медиан грани$A_1BD$ и центр описанного шара лежат на одной прямой. - Найти радиус шара, описанного около этой пирамиды.
Достроим пирамиду
Чтобы доказать утверждение пункта а), рассмотрим прямоугольник
Другой часто встречающийся способ достраивания тетраэдра до параллелепипеда состоит в следующем. Проведём через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру. Эти плоскости ограничат некоторый параллелепипед (рис. 2), диагоналями граней которого будут рёбра исходного тетраэдра.
Небольшой практический совет: чертёж удобнее начинать с изображения параллелепипеда.
Задача 2. Найти радиус шара, касающегося всех рёбер правильного тетраэдра, длина ребра которого равна
Как легко видеть из рисунка 2, построенный описанным способом параллелепипед будет кубом с ребром
Первый из предложенных способов достраивания тетраэдра до параллелепипеда удобен, когда даны плоские углы при одной из вершин тетраэдра (особенно если все они прямые), второй используется в задачах, в которых фигурируют скрещивающиеся рёбра тетраэдра.
Задача 3. Длины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра равны
На рисунке 3
Центр вписанного в тетраэдр
Значит, расстояние, о котором говорится в условии задачи, равно половине длины диагонали параллелепипеда. Обозначим через
Задача 4. Сечение тетраэдра плоскостью, параллельной двум его скрещивающимся рёбрам и равноудалённой от этих ребёр, имеет площадь
Пусть
С помощью только что решённой задачи нетрудно доказать справедливость формулы Симпсона, служащей для вычисления объёма многогранников специального вида.
Дан многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, находящихся на расстоянии
Для доказательства проверьте, что эта формула верна, если многогранник является тетраэдром, а потом разбейте произвольный многогранник, вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях, на тетраэдры с вершинами в этих же плоскостях: площади граней тетраэдров, расположенных в одной плоскости, в сумме дадут
В заключение приведём пример задачи, в которой оказывается удобнее достраивать тетраэдр не до параллелепипеда, а до треугольной призмы.
Задача 5. В тетраэдре площади двух граней равны
Докажем сначала, что если площадь одной боковой грани треугольной призмы равна
В самом деле, пусть плоскость
Перейдём теперь к решению задачи 5. Пусть
Если мы рассмотрим другую треугольную призму с основанием
Упражнения
- Доказать, что сумма квадратов длин рёбер тетраэдра равна учетверённой сумме квадратов расстояний между серединами его скрещивающихся рёбер.
- (МГУ, физфак, 1964.) Дан тетраэдр
$ABCD$. Доказать, что его рёбра$AD$ и$BC$ взаимно перпендикулярны в том и только в том случае, когда выполняется равенство $$ |AB|^2+|DC|^2=|AC|^2+|DB|^2. $$ Длины двух противоположных рёбер тетраэдра равны
$a$, длины двух других противоположных рёбер равны$b$, оставшихся двух —$c$. Найти- объём этого тетраэдра;
- радиус описанного вокруг него шара.
Длины двух противоположных рёбер тетраэдра равны
$a$ и$a_1$, угол между ними равен$\alpha$, длины двух других рёбер соответственно равны$b$ и$b_1$, угол между ними$\beta$ и, наконец, длины двух оставшихся рёбер равны$c$ и$c_1$, угол между ними$\gamma$ $\Big(\alpha$, $\beta$, $\gamma\le\dfrac\pi2\Big)$ - Доказать, что одно из чисел
$aa_1\cos\alpha$, $bb_1\cos\beta$, $cc_1\cos\gamma$ равно сумме двух других. - Найти углы
$\alpha$, $\beta$ и$\gamma$, если даны$a$, $a_1$, $b$, $b_1$, $c$, $c_1$.
- Доказать, что одно из чисел
Ответы, указания, решения
- Достройте тетраэдр до параллелепипеда вторым способом и воспользуйтесь для каждой грани параллелепипеда теоремой, связывающей сумму квадратов длин сторон параллелограмма и сумму квадратов длин его диагоналей.
- Достройте тетраэдр до параллелепипеда вторым способом; для выполнения условия задачи необходимо и достаточно‚ чтобы соответствующая грань получившегося параллелепипеда была ромбом.
$\dfrac{\sqrt2}{12}\sqrt{(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)(-a^2+b^2+c^2)}$; $\dfrac12\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}2}$.
Указание. См. задачи 3, 4 в статье.
- Достройте тетраэдр до параллелепипеда вторым способом. Учетверённый квадрат длины каждого ребра параллелепипеда выразите по теореме косинусов через длины диагоналей соответствующей грани и угол между ними (по одной грани на ребро). Затем к граням параллелепипеда примените теорему о сумме квадратов длин диагоналей параллелограмма и сумме квадратов длин его сторон. Сложив все полученные равенства, получите требуемый результат.