«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Хорда окружности удалена от центра на расстояние $h$. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие — на хорде (рис. 1). Чему равняется разность длин сторон этих квадратов?
В компании $N$ человек. Каждому из них нравится ровно $k$ людей из этой компании. При каком наименьшем $k$ можно утверждать, что обязательно найдутся два человека из этой компании, которые нравятся друг другу?
По правильному тетраэдру ползают муха и два паука. Муха ползает только по рёбрам, а пауки — по всей поверхности. Максимальная скорость мухи в 2 раза больше максимальной скорости пауков.
Выпуклый $n$-угольник помещён в квадрат со стороной 1. Докажите, что найдутся три вершины $A$, $B$, $C$ этого $n$-угольника такие, что площадь треугольника $ABC$ меньше $\dfrac8{n^2}$.
На плоскости расположены два выпуклых многоугольника $M_0$ и $M_1$. Обозначим через $M$ множество точек, в которые может попасть середина отрезка, один конец которого принадлежит $M_0$, второй — $M_1$. Докажите, что…
Текст задачи готовится
На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать одно число — модуль их разности. После повторения указанной процедуры несколько раз на доске остаётся одно число. Какое это может быть число?
Дан треугольник $C_1C_2O$. В нём проводится биссектриса $C_2C_3$, затем в треугольнике $C_2C_3O$ — биссектриса $C_3C_4$ и так далее. Докажите, что последовательность величин углов $\gamma_n=\angle C_{n+1}C_n O$ стремится к пределу, и найдите этот предел,…
Докажите, что если $a$, $b$, $c$, $d$, $x$, $y$, $u$, $v$ — вещественные числа и $abcd\gt0$, то $$ \begin{gathered} (ax+bu)(av+by)(cx+dv)(cu+dy)\ge\\ \ge(acuvx+bcuxy+advxy+bduvy)(acx+bcu+adv+bdy). \end{gathered} $$
Сечения выпуклого многогранника тремя параллельными плоскостями $p_0$, $p_1$ и $p_2$ ($p_1$ расположена между $p_0$ и $p_2$ на одинаковом расстоянии $h$ от той и другой) имеют площади $S_0$,…
