В «Кванте» №7 за этот год (с. 65) высказывалось следующее предположение:
$$
\dfrac9{20}(ab+bc+ca)\le m_am_b+m_bm_c+m_cm_a,
$$
где $a$, $b$, $c$, $m_a$, $m_b$, $m_c$ — длины сторон и соответственно медиан произвольного треугольника.
Ниже приводится «геометрическое» доказательство этого утверждения.
Лемма 1. $m_a+m_b+m_c\lt a+b+c$.
Лемма 2. $a^2+b^2+c^2\lt2(ab+ac+bc)$.
Лемма 3. $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\dfrac34(a^2+b^2+c^2)$.
Докажите эти леммы самостоятельно.
Лемма 4. $m_am_b+m_bm_c+m_am_c\lt\dfrac54(ab+bc+ac)$.
Доказательство. Согласно лемме 1, $(m_a+m_b+m_c)^2\lt(a+b+c)^2$, т. е.
$$
\begin{gather*}
m_a^2+m_b^2+m_c^2+2m_am_b+2m_bm_c+2m_am_c\lt\\
\lt(a^2+b^2+c^2)+2ab+2bc+2ac,
\end{gather*}
$$
откуда, в силу лемм 3 и 2:
$$
2m_am_b+2m_bm_c+2m_am_c\lt\dfrac14(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ac)\lt\dfrac52(ab+bc+ac),
$$
что и требовалось доказать.
Лемма 5. Если в треугольнике со сторонами $\dfrac13m_a$, $\dfrac13m_b$ и $\dfrac13m_c$ построить медианы, то их длины будут равны $\dfrac14a$, $\dfrac14b$ и $\dfrac14c$.
Доказательство. Пусть $G$ — центр тяжести треугольника $ABC$, $AM$, $BK$ и $CP$ — медианы, $R$ — середина отрезка $BG$. По построению $|RG|=\dfrac13m_b$, $|PG|=\dfrac13m_c$, а $PR$ — средняя линия в треугольнике $ABG$, откуда $|PR|=\dfrac12|AG|=\dfrac13m_a$. Таким образом, треугольник $PRG$ — искомый. Проведём в нём медиану $PQ$. Она является средней линией в треугольнике $ABK$ и, следовательно $|PQ|=\dfrac12|AK|=\dfrac14a$.
Утверждение леммы доказано.
Применив теперь лемму 4 к треугольнику $PRG$, получим нужное неравенство.
