Файнгольд М. И.

Этот удивительный параболоидФайнгольд М. И. Этот удивительный параболоид // Квант. — 1975. — № 12. — С. 24⁠—⁠28.‍‍

Параболическое зеркало — это параболоид, внутренняя поверхность которого зеркально отражает падающий на неё свет. Если свет падает на такое зеркало параллельно оси симметрии параболоида, то после отражения все лучи проходят через его фокус, как бы собираются в нём. И наоборот, лучи от точечного источника, расположенного в фокусе, отразившись от поверхности параболоида, выходят параллельным пучком.

Важно отметить, что каждый из упомянутых эффектов является результатом только одного отражения лучей от поверхности параболоида. Но если сделать параболическое зеркало достаточно глубоким, то большинство входящих в него лучей испытает два отражения (рис. 1). После первого отражения каждый луч, пройдя через фокус, снова отражается от «противоположной» стороны зеркала. Иначе говоря, фокус становится как бы самостоятельным точечным источником света‍. Но лучи от такого источника выходят из зеркала параллельным пучком. Таким образом, мы приходим к следующему выводу: параболоид преобразует входящий в него пучок лучей, параллельных оси симметрии, в выходящий пучок, также параллельный оси симметрии.

Но в «энергетическом» отношении падающий и отражённый пучки оказываются различными. Для того чтобы понять, о чём идёт речь, посмотрите на рисунок 2. Он иллюстрирует результаты следующего несложного опыта. На оси симметрии зеркала перпендикулярно ей установлена фотопластинка. Светочувствительная поверхность её обращена «внутрь» параболоида. Зеркало освещается пучком света, параллельным оси симметрии, причём, распределение энергии в поперечном сечении падающего пучка однородно, т. е. через единичную площадку, перпендикулярную распространяющемуся пучку, в любом месте проходит за одно и то же время одно и то же количество энергии. Это означает, что падающий свет засвечивал бы фотопластинку равномерно. Но на светочувствительную поверхность пластинки попадают отражённые лучи. И пластинка оказывается засвеченной так, как показано на рисунке 2.

Сначала объясним этот факт с помощью наглядных соображений. Пусть $OZ$‍‍ — ось симметрии, $r'$‍,‍ $r''$‍‍ — расстояния от оси до падающего и соответствующего ему выходящего луча (рис. 3). Чем дальше от оси $OZ$‍‍ падает луч, тем ближе к ней он выходит, т. е. чем больше $r'$‍,‍ тем меньше $r''$‍.‍ Поэтому энергия «периферийных» областей входящего пучка «перебрасывается» к оси выходящего. Если падающий пучок достаточно широкий (большой радиус зеркала), то это приведёт к существенной концентрации энергии вдоль оси. В результате наружу энергия выходит практически в виде узкого «светового шнура», причём, чем шире входящий пучок, тем у́же выходящий шнур.

Итак, мы приходим к выводу: параболоид может концентрировать энергию не только в фокусе, но и вдоль оси симметрии.

Нетрудно произвести количественный расчёт этого эффекта. Рассмотрим параболу, вращением которой относительно оси $OZ$‍‍ создаётся поверхность параболоида. Если начало координат находится в фокусе, то уравнение параболы имеет вид $$ z=\dfrac{r^2}{4f}-f,\tag1 $$ где $f$‍‍ — фокусное расстояние, а $r$‍‍ и $z$‍‍ — «абсцисса» и «ордината» произвольной точки параболы. Входящий луч, «встретивший» параболу в точке $a'$‍‍ на расстоянии $r$‍‍ от оси симметрии, отразится, пройдёт через фокус и снова встретит параболу в точке $a''$‍‍ на расстоянии $r''$‍‍ от оси $OZ$‍‍ (см. рис. 3). Обозначим через $\theta$‍‍ угол между $OZ$‍‍ и «промежуточным» отрезком $a'a''$‍‍ нашего луча. Уравнение прямой $a'a''$‍‍ запишется в виде $$ z=-r\ctg\theta.\tag2 $$ Точки $a'$‍‍ и $a''$‍‍ принадлежат одновременно и параболе (1), и прямой (2). Поэтому для них мы можем приравнять правые части (1) и (2): $$ r^2+4fr\ctg\theta-4f^2=0.\tag3 $$ Решая это уравнение, находим: $$ r_1=-2f\ctg\dfrac\theta2,\quad r_2=2f\tg\dfrac\theta2.\tag4 $$ Корни $r_1$‍‍ и $r_2$‍‍ — это значения координаты $r$‍‍ для точек $a'$‍‍ и $a''$‍.‍ Таким образом, $r'=|r_1|$‍,‍ $r''=r_2$‍.‍ Из (4) следует $$ r'r''=4f^2.\tag5 $$

Формулу (5) можно получить с помощью теоремы Виета, не решая уравнения (3). Этот результат подтверждает вывод, полученный выше из качественных соображений: расстояния падающего и выходящего лучей от оси $OZ$‍‍ обратно пропорциональны друг другу.

Формулу (5) можно «прочитать» следующим образом. Представим себе плоскость $A$‍,‍ перлендикулярную оси $OZ$‍.‍ Пусть каждый луч, входящий в параболоид или выходящий из него параллельно оси $OZ$‍,‍ пересекает эту плоскость и оставляет на ней след в виде точки (см. рис. 4). Согласно формуле (5) двукратное отражение от параболоида соответствует преобразованию точек плоскости $A$‍,‍ переводящему всякий отрезок $Oa'=|r_1|$‍‍ в отрезок $Oa''=\left|\dfrac{4f^2}{r_1}\right|$‍.‍ О таком преобразовании подробно рассказано‍ в журнале «Квант» № 8 за 1971 г. Оно носит название инверсии относительно окружности радиуса $2f$‍‍ с центром в точке $O$‍‍‍. Там же описаны устройства, практически осуществляющие такое преобразование, — инверсор Поселье и инверсор Гарта.

В формулах (4) и (5) содержится вся информация о рассматриваемом явлении перераспределения энергии падающего пучка света. Попробуем её извлечь.

Выделим в падающем на зеркало пучке в плоскости $A$‍,‍ нормальной к оси параболоида, узкую кольцевую площадку шириной $\Delta r'$‍‍ с внутренним радиусом $r'$‍‍ ($\Delta r'\ll r'$‍).‍ Через эту площадку проходят лучи света, расстояние до которых от оси симметрии лежит в интервале $[r',r'+\Delta r']$‍‍ (см. рис. 5). После двойного отражения от зеркала эти лучи пересекают плоскость $A$‍‍ в точках, лежащих внутри кольца шириной $\Delta r''$‍‍ с внешним радиусом $r''$‍.‍ Т. е. внешнему радиусу $r'+\Delta r'$‍‍ «падающего» кольца соответствует внутренний радиус $r''-\Delta r''$‍‍ «отражённого» кольца. Согласно (5) произведение этих радиусов равно $4f^2$‍‍‍, т. е. $$ (r'+\Delta r')(r''-\Delta r'')=r'r''+r''\,\Delta r'-r'\,\Delta r''-\Delta r'\,\Delta r''=4f^2. $$ Учитывая, что $r'r''=4f^2$‍,‍ получим: $$ r''\,\Delta r'-r'\,\Delta r''-\Delta r'\,\Delta r''=0. $$ Так как $\Delta r'\ll r'$‍‍ и $\Delta r''\ll r''$‍,‍ последним членом в этом выражении можно пренебречь и записать $$ r''\,\Delta r'-r'\,\Delta r''=0. $$ Отсюда следует, что $$ \dfrac{\Delta r''}{\Delta r'}=\dfrac{r''}{r'}=\dfrac{4f^2}{r'^2}, $$ или $$ \dfrac{\Delta r''}{\Delta r'}=\dfrac{4f^2}{r'^2},\quad \Delta r''=\Delta r'\,\dfrac{4f^2}{r'^2}.\tag6 $$

Таким образом, энергия, которая в падающем пучке проходила через кольцевую площадку шириной $\Delta r'$‍,‍ после двойного отражения лучей от зеркала проходит через кольцевую площадку $\Delta r''\lt\Delta r'$‍.‍ Это означает, что количество энергии, проходящей за единицу времени через единицу площади (эту характеристику называют интенсивностью), в «отражённом» кольце больше, чем в «падающем». Мы рассматривали случай, когда $r'\gt2f$‍.‍ Если $r'\lt2f$‍,‍ то «отражённое» кольцо шире «падающего», и значит, интенсивность отражённого света меньше, чем интенсивность падающего.

Итак, в результате отражения света от параболического зеркала происходит перераспределение интенсивности света. Найдём, как изменяется интенсивность в зависимости от расстояния до оси симметрии параболоида. Пусть интенсивность падающего света равна $J_0$‍.‍ Тогда количество энергии, проходящей за единицу времени через кольцевую площадку шириной $\Delta r'$‍‍ (т. е. световой поток через кольцо), равно произведению $J_0$‍‍ на площадь кольца, т. е. $$ \Delta\Phi=J_0\,2\pi r'\,\Delta r', $$ где $r'$‍‍ — внутренний радиус кольца‍. После двойного отражения света от зеркала весь этот поток выйдет через площадку $2\pi r''\,\Delta r''$‍.‍ Поэтому в выходящем пучке интенсивность равна $$ J=\dfrac{\Delta\Phi}{2\pi r''\,\Delta r''}=J_0\dfrac{r'\,\Delta r'}{r''\,\Delta r''}=\dfrac{16f^4}{(r'')^4}J_0.\tag7 $$ Формула (7) описывает резкое возрастание интенсивности по мере уменьшения $r''$‍,‍ т. е. по мере приближения к оси симметрии параболоида.

Однако, это не означает, что на самой оси интенсивность становится бесконечно большой. Ведь ближе всего к оси выходят те лучи, которые находились на периферии падающего пучка. Очевидно, что максимальное расстояние $r'_{\text{max}}$‍‍ от падающего луча до оси симметрии равно радиусу зеркала. Ему соответствует минимальное расстояние $r''_{\text{min}}$‍‍ в выходящем пучке. При уменьшении $r''$‍‍ до $r''_{\text{min}}$‍,‍ интенсивность в выходящем пучке возрастает по закону (7), а при $r''\lt r''_{\text{min}}$‍‍ интенсивность становится практически равной нулю‍. Именно поэтому на рисунке 2 образуется «провал» интенсивности вблизи оси пучка. Однако максимальное значение интенсивности, наблюдаемое вблизи «края провала», может во много раз превышать интенсивность $J_0$‍‍ падающего пучка.

Вот сколько информации мы извлекли из простой формулы (5)!

Обратимся теперь к соотношениям (4). Они описывают ход лучей «внутри» параболоида между двумя отражениями. Именно эти лучи, сходясь в фокусе и расходясь из него, как бы образуют здесь фиктивный точечный источник света. Однако, этот источник отличается от реального точечного. Он излучает неизотропно, т. е. сила света, испускаемого им в разных направлениях, различна.

Есть что-то мистически красивое во всех этих свойствах параболоида!

Однако, сделанные нами выводы справедливы лишь в рамках идеализированных представлений, которые не точно соответствуют действительности. Мы говорили о параболоиде как о математически идеальной поверхности. Реальное зеркало лишь приближённо соответствует этому «идеалу». Его поверхность не строго симметрична, имеет шероховатости и т. п.

Далее, мы оперировали понятиями луча и параллельного пучка лучей. На самом деле всякий реальный пучок лучей распространяется внутри некоторого телесного угла, не равного нулю. Мы можем говорить лишь о практически параллельном пучке, т. е. о пучке, который хотя и расходится, но настолько незначительно, что этой расходимостью внутри определённой области пространства можно пренебречь. Например, пучок лучей, упавший на параболоид от какой-либо звезды, можно считать практически параллельным. Но даже в этом случае выходящий пучок подвергнется так называемой дифракционной расходимости, обусловленной волновой природой света‍. Причём чем у́же этот пучок (т. е. чем больше диаметр зеркала), тем больше расходятся лучи. Количественно дифракционная расходимость характеризуется углом отклонения луча от направления распространения света. Угол этот по порядку величины равен $$ \alpha\approx\dfrac\lambda{r''_{\text{min}}}, $$ где $\lambda$‍‍ — длина волны падающего света. Таким образом, чем тоньше и концентрированнее «световой шнур», тем больше он расходится. Оценим расстояние $z$‍,‍ на котором увеличение радиуса шнура из-за расходимости равно самому радиусу $r''_{\text{min}}$‍‍ «в начале пути» (вплоть до этого расстояния выходящий шнур можно считать практически параллельным). Очевидно, $$ z\approx\dfrac{r''_{\text{min}}}{\tg\alpha}\approx\dfrac{r''_{\text{min}}}\alpha\approx\dfrac{(r''_{\text{min}})^2}\lambda. $$ Согласно этой формуле, чем тоньше и интенсивнее пучок, тем меньше, при прочих равных условиях, его «длина параллельности». Следовательно, создание очень глубокого параболоида не только невозможно практически, но бессмысленно и с теоретической точки зрения. Волновая природа света не позволяет получить сколь угодно сильный и параллельный пучок лучей, подобный описанному в романе А. Толстого «Гиперболоид инженера Гарина».

Таким образом, красивые и неожиданные эффекты, связанные с двукратным отражением света от параболоида вращения, возможны лишь в тех пределах, в которых допустимо игнорировать волновой характер света, а именно, когда даже наименьший из всех размеров системы — радиус $r''_{\text{min}}$‍‍ — во много раз больше длины волны. Это условие накладывает ограничение на степень «усиления» света.