Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболыБолтянский В. Г. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы // Квант. — 1975. — № 12. — С. 19—23.
Текст статьиБолтянский В. Г. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы // Квант. — 1975. — № 12. — С. 19—23.
Хорошо известна задача о нахождении на прямой $l$ такой точки $M$, для которой сумма расстояний от двух заданных точек $A$, $B$, лежащих по одну сторону прямой $l$, — наименьшая. Искомой будет точка пересечения отрезка $A_1B$ с прямой $l$, где $A_1$ — точка, симметричная $A$ относительно прямой $l$ (рис. 1). В самом деле,
$$
|AM|+|MB|=|A_1M|+|MB|=|A_1B |,
$$
тогда как для любой другой точки $M'$ прямой $l$ имеем
$$
|AM'|+|M'B|=|A_1M'|+|M'B|\gt|A_1B|.
$$
Иначе говоря,
$$
|AM'|+|M'B|\gt|AM|+|MB|.\tag1
$$
Рис. 1
Всё это хорошо, может возразить нетерпеливый читатель, но задача эта проста и хорошо известна. И какое отношение всё это имеет к эллипсу или параболе? Минуточку терпения! Взглянем ещё раз на чертёж: $\angle1\cong\angle3$, а так как, кроме того, $\angle2\cong\angle3$, то $\angle1\cong\angle2$. Поэтому из решения рассмотренной задачи вытекает следующее утверждение:
Пусть $A$ и $B$ — две точки, лежащие по одну сторону прямой $l$, и М — такая точка прямой $l$, что отрезки $AM$ и $MB$ образуют с прямой $l$ равные углы. Тогда для любой точки $M'$ прямой $l$, отличной от $M$, справедливо неравенство (1).
Рис. 2
Вот теперь мы достаточно «вооружены» для рассмотрения оптического свойства эллипса. Возьмём на эллипсе, имеющем фокусы $A$ и $B$, произвольную точку $M$ (рис. 2). Для любой точки $N$, принадлежащей эллипсу, справедливо равенство$$
|AN|+|BN|=|AM|+|BM|,
$$
а для точки $N$, лежащей внутри эллипса, сумма $|AN|+|BN|$ будет меньше, чем $|AM|+|BM|$. Построим прямую $l$, проходящую через $M$ и образующую равные углы с отрезками $AM$ и $BM$. Если теперь $M'$ — произвольная точка прямой $l$, отличная от М, то как мы видели, сумма $|AM'|+|BM'|$ будет больше$|AM|+|BM|$, и потому точка $M'$ лежит вне эллипса.
Итак, прямая $l$ имеет только одну общую точку с эллипсом, а именно, точку $M$; все же остальные точки прямой $l$ расположены вне эллипса. Такую прямую называют касательной к эллипсу. Таким образом, касательная к эллипсу, проведённая в точке $M$, образует конгруэнтные углы с радиусами-векторами $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{BM}$. Это и есть оптическое свойство эллипса.
О том, почему это свойство называется «оптическим», мы поговорим ниже, а сейчас обратимся к гиперболе и параболе. Оптические свойства этих линий ясны из рисунков З и 4. На рисунке 3 точки $A$ и $B$ являются фокусами гиперболы, а на рисунке 4 точка $A$ — фокус, а прямая $d$ — директриса параболы. В обоих случаях оптическое свойство выражается условием $\angle1\cong\angle2$.
Рис. 3Рис. 4
Для гиперболы доказательство оптического свойства аналогично доказательству, проведённому для эллипса, только надо воспользоваться задачей о нахождении на прямой $l$ такой точки, для которой разность расстояний от двух заданных точек $A$, $B$ наибольшая. Предоставляем читателю самостоятельно провести это доказательство.
Рис. 5
Рассматривая параболу, надо воспользоваться тем, что для точки $N$, лежащей на самой параболе, справедливо равенство $|AN|=|NH|$ (рис. 5), а для точки $N$, лежащей во внутренней области параболы, $|AN'|\lt|N'H'|$. Если теперь провести биссектрису $l$ угла $AMK$ (рис. 5), то для любой отличной от $M$ точки $M'$ прямой $l$ найдём:
$$
|AM'|=|M'K|\gt|M'K\|,
$$
т. е. точка $M'$ лежит во внешней области параболы. Итак, вся прямая $l$, кроме точки $M$, лежит во внешней области, т. е. внутренняя область параболы лежит по одну сторону от $l$, а это означает, что $l$ — касательная к параболе. Это и даёт доказательство оптического свойства параболы: $\angle1\cong\angle2$, так как $l$ — биссектриса угла $AMK$.
Рис. 6Рис. 7
Можно указать ещё один способ доказательства оптического свойства; рассмотрим его на примере гиперболы. Возьмём на гиперболе две очень близкие точки $M$ и $M_1$ (рис. 6), и пусть $P$ — точка пересечения прямых $AM$ и $BM_1$, а $Q$ — точка пересечения прямых $AM_1$ и $BM$. Посмотрим теперь «через лупу» на четырёхугольник $M_1PMQ$ (рис. 7). Мы можем считать (приблизительно), что $[PM_1]\parallel[MQ]$ и $[PM]\parallel[M_1Q]$, так как точки $A$ и $B$ находятся очень далеко — сравнительно с размерами четырёхугольника $M_1PMQ$. Итак, будем считать (приближённо), что $M_1PMQ$ параллелограмм. Проведём теперь окружности с центрами $A$ и $B$, проходящие через точку $M_1$. Вблизи рассматриваемого параллелограмма (см. рис. 7) дуги этих окружностей будут представляться прямыми $M_1K$ и $M_1L$, перпендикулярными сторонам параллелограмма. Мы имеем:
$$
\begin{gather*}
|AM|-|BM|=(|AK|+|KM|)-(|BL|+|LM|)=\\
=(|AM_1|+|KM|)-(|BM_1|+|LM|)=(|AM_1|-|BM_1|)+(|KM|-|LM|).
\end{gather*}
$$
Но так как обе точки $M$, $M_1$ лежат на гиперболе, то $|AM|-|BM|=|AM_1|-|BM_1|$, и потому $|KM|=|LM|$. Полученное равенство означает, что прямоугольные треуголь ники $KMM_1$ и $LMM_1$ конгруэнтны (по гипотенузе и катету), и, следовательно, $\angle1\cong\angle2$. Это и даёт доказательство оптического свойства (для того чтобы это «приближённое» рассуждение сделать точным, нужно ещё перейти к пределу при $M_1\to M$).
Теперь рассмотрим некоторые оптические и механические интерпретации доказанного свойства. Предположим, что эллипс представляет собой «зеркальную» кривую, от которой луч света отражается по закону «угол падения равен углу отражения». Если в одном фокусе такого зеркального эллипса помещён точечный источник света, то после отражения от стенок эллипса все лучи пройдут через второй фокус, — это является непосредственным следствием оптического свойства. Описанное явление можно наблюдать реально, в трёхмерном пространстве. Для этого нужно взять поверхность, получающуюся вращением эллипса вокруг прямой, проходящей через его фокусы. Если такую поверхность, называемую эллипсоидом вращения, покрыть изнутри зеркальным слоем, а в одном из фокусов поместить точечный источник света («солнце»), то наблюдатель, находящийся внутри эллипсоида, увидит два «солнца». В самом деле, обратив взгляд к первому фокусу, наблюдатель непосредственно увидит размещённое там «солнце». Но и, посмотрев в направлении второго фокуса (где в действительности ничего нет), он также увидит «солнце» (рис. 8). И как бы ни перемещался наблюдатель внутри зеркального эллипсоида, на него почти везде будут светить два «солнца». Аналогичную картину можно наблюдать внутри зеркального гиперболоида вращения или параболоида вращения.
Рис. 8
Но вот наблюдатель, находящийся внутри зеркального эллипсоида, решил принять меры, которые избавят его от «мнимого солнца», и поместил во втором фокусе небольшое непрозрачное тело («экран»), преграждающее путь отражённым лучам. Результат оказывается несколько неожиданным: теперь все лучи, исходящие от «солнца» $A$, после отражения от зеркального эллипсоида собираются («фокусируются») на «экране» $B$, и это может вызвать интенсивный его разогрев. И заметьте, для такой фокусировки не обязательно иметь целый зеркальный эллипсоид, а можно использовать лишь часть его поверхности.
А что увидит «несгораемый» наблюдатель, оказавшийся во втором фокусе $B$ зеркального эллипсоида, если в первый его фокус $A$ поместить источник света? Все лучи, выходящие из точки $A$ и отражающиеся от эллипсоида, попадают в точку $B$. Таким образом, для наблюдателя весь элипсоид будет светиться.
Иллюстрацию этого явления вы видите на первой странице обложки — в качестве источника света использована свеча, а роль зеркального эллипсоида играет рефлектор электрокамина (хотя нельзя ручаться, что он имеет в точности форму эллипсоида, но и свеча — не точка, и её размеры компенсируют неправильность формы рефлектора).
Если, например, изготовить зеркальный эллиптический отражатель, в одном фокусе которого находится Солнце (настоящее!), а в другом — котёл с водой, то можно добиться кипения воды в котле за счёт сфокусированного отражателем излучения Солнца.
Удивительного в этом ничего нет: ведь отражатель имеет большую площадь, и со всей его поверхности солнечная энергия направляется на обогрев котла. Такие солнечные установки уже сейчас имеют некоторое применение. А в будущем (кто знает?), может быть, удастся, построив огромный зеркальный отражатель (рис. 9), использовать энергию тех лучей, которые проходят мимо Земли?
Рис. 9Рис. 10
Если считать солнечные лучи приблизительно параллельными, то для их фокусировки можно использовать оптическое свойство параболы (рис. 10). Впрочем, сравнительно небольшая дуга очень вытянутого эллипса практически не отличается от дуги параболы.
Применяются параболические рефлекторы (отражатели) и в современных телескопах. Конечно, в этом случае свет далёкой звезды фокусируют не с целью разогрева, а для того, чтобы звезду можно было увидеть (например, чтобы собранного рефлектором света было достаточно для воздействия на фотоплёнку).
Если в солнечных установках и телескопах свет, идущий от далёкого источника (практически «из бесконечности»), собирается в фокусе, то в прожекторе — наоборот: свет от мощной лампы, помещённой в фокусе, после отражения от параболического рефлектора уходит параллельным пучком лучей (чёрные линии на рисунке 11). Если же лампу чуть удалить от зеркала, то рефлектор действует наподобие эллиптического — получается «почти» сходящийся пучок лучей (красные линии). Приближение же лампы к зеркалу даёт примерно такую же картину лучей, что и в гиперболическом отражателе: лучи расходятся (синие линии). Такие рефлекторы используются не только в прожекторах или автомобильных фарах, но и в проекционных аппаратах, обогревательных приборах, медицинских установках (лампы синего света, кварцевые лампы и др.).
Рис. 11Рис. 12
Наконец, укажем ещё одно — на этот раз механическое — применение оптического свойства. На рисунке 12 изображён эллипс $E_1$ и симметричный ему относительно касательной $l$ эллипс $E_2$. Из чертежа видно, что точки $A$, $M$ и $C$ лежат на одной прямой, причём
$$
|AC|=|AM|+|MC|=|AM|+|MB|,
$$
то есть расстояние между точками $A$ и $C$ равно большой оси эллипса. Закрепим теперь эллипсы в точках $A$ и $C$ так, чтобы они могли вращаться вокруг этих точек. Если вращать эллипс $E_1$ вокруг точки $A$, то для каждого его положения существует точка $M$, в которой эллипс пересекает отрезок $AC$; проведя в точке $M$ касательную, найдём единственное соответствующее положение эллипса $E_2$. Иными словами, эллипс $E_2$ будет также вращаться (вокруг точки $C$), увлекаемый эллипсом $E_1$. На этом основано устройство эллиптической зубчатой передачи: она преобразует равномерное вращение эллипса $E_1$ вокруг точки $A$ в неравномерное вращение эллипса $E_2$ вокруг точки $C$.
