«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?
В клетках прямоугольной таблицы размерами $m \times n$ записаны любые натуральные числа. За один ход разрешается удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Докажите, что за несколько ходов можно добиться, чтобы все числа стали равными нулю.
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на единицу во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Докажите, что в этот многоугольник можно вписать окружность.
Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.
Прямоугольный лист бумаги размерами $a \times b$ разрезан на прямоугольные полоски, у каждой из которых одна сторона имеет длину 1. Докажите, что хотя бы одно из чисел $a$ и $b$ — целое.
Докажите, что $3^{1974}+5^{1974}$ делится на 13.
Пусть $A_iH_i$ — высота и $A_iM_i$ — медиана, проведённые из вершины $A_i$ остроугольного треугольника $A_1A_2A_3$ ($i=1$, 2, 3). Докажите, что одно из трёх произведений $|H_1M_1|\cdot|A_2A_3|$, $|H_2M_2|\cdot|A_3A_1|$, $|H_3M_3|\cdot|A_1A_2|$ равно сумме двух…
$n$ отрезков $A_1B_1$, $A_2B_2$, $\ldots$, $A_nB_n$ (рис. 1) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку $G$ (не лежащую на…
Даны два набора из $n$ вещественных чисел: $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ и $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
Предлагается построить $N$ точек на плоскости так, чтобы все попарные расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для каждых двух точек $M_i$, $M_j$ известно, чему должно равняться расстояние $|M_iM_j|=r_{ij}$ (здесь $i$ и…
