Задачник «Кванта» / Квант. — 1974. — № 4 / 1974 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Задачи М256‍—‍М260; Ф268‍—‍Ф272 Задачи М256—М260; Ф268—Ф272 // Квант. — 1974. — № 4. — С. 30—32.

Задача М256
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки $M$‍‍ окружности до сторон одного многоугольника равно произведению…
Задача М257
При каких натуральных $n \ge 2$‍‍ неравенство $$ x_1^2 + x_2^2 \ldots + x_n^2 \ge p(x_1x_2 + x_2x_3 + \ldots + x_{n-1}x_n) $$ выполняется для любых действительных чисел $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n$‍,‍ если
Задача М258
На плоскости даны три точки $K$‍,‍ $L$‍,‍ $N$‍.‍ Про четырёхугольник известно, что он выпуклый и что середины некоторых трёх его сторон лежат в данных точках $K$‍,‍ $L$‍,‍ $N$‍.‍ Найдите множества точек, в которые может…
Задача М259
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки $M$‍‍ окружности до сторон одного многоугольника равно…
Задача М260
Окружность разбита точками $A_1$‍,‍ $A_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $A_n$‍,‍ на $n$‍‍ равных частей, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги (с концами в точках разбиения) называются одинаково окрашенными, если при некотором повороте…
Задача Ф268
Текст задачи готовится
Задача Ф269
Текст задачи готовится
Задача Ф270
Текст задачи готовится
Задача Ф271
Текст задачи готовится
Задача Ф272
Текст задачи готовится

Решения задач М211‍—‍М218; Ф223‍—‍Ф227 Решения задач М211—М218; Ф223—Ф227 // Квант. — 1974. — № 4. — С. 32—40.

Задача М211
Дано $n$‍‍ точек, $n \gt 4$‍.‍ Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в каждую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в…
Задача М212
На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что семь из них — фальшивые, остальные — настоящие, причём узнал, какие именно фальшивые, а какие — настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково и…
Задача М213
Дан угол с вершиной $O$‍‍ и окружность, касающаяся его сторон в точках $A$‍‍ и $B$‍.‍ Из точки $A$‍‍ параллельно $OB$‍‍ проведён луч, пересекающий окружность в точке $C$‍.‍ Отрезок $OC$‍‍ пересекает…
Задача М214
Квадратный трёхчлен $f(x) = ax^{2} + bx + c$‍‍ таков, что уравнение $f(x) = x$‍‍ не имеет вещественных корней. Доказать, что уравнение $f(f(x)) = x$‍‍ также не имеет вещественных корней.
Задача М215
На бесконечном клетчатом листе белой бумаги $n$‍‍ клеток закрашено в чёрный цвет. В моменты времени $t = 1$‍,‍ 2, $\ldots$‍‍ происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка $k$‍‍ приобретает тот цвет,…
Задача Ф223
Текст задачи готовится
Задача Ф224
Текст задачи готовится
Задача Ф225
Текст задачи готовится
Задача Ф226
Текст задачи готовится
Задача Ф227
Текст задачи готовится
Задача М216
$N$‍‍ человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом $N$‍.‍
Задача М217
Дан выпуклый $n$‍‍-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка внутри него. Доказать, что через эту точку нельзя провести больше $n$‍‍ прямых, каждая из которых делит площадь $n$‍‍-угольника пополам.
Задача М218
Доказать, что если $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $x_3$‍,‍ $x_4$‍,‍ $x_5$‍‍ — положительные числа, то $$ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 \ge 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1). $$

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1974. — № 4. — С. 30—40.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1974
Номер: 4
Страницы: 30—40
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1974. — № 4. — С. 30‍—‍40.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1974/4/zadachnik_kvanta-7022f038/
Полный текст: опубликован 29.03.2026

Задачник «Кванта» (1974, № 4)Задачник «Кванта» // Квант. — 1974. — № 4. — С. 30‍—‍40.‍‍

Изображения страниц

Задачи М256‍—‍М260; Ф268‍—‍Ф272 Задачи М256—М260; Ф268—Ф272 // Квант. — 1974. — № 4. — С. 30—32.

Решения задач М211‍—‍М218; Ф223‍—‍Ф227 Решения задач М211—М218; Ф223—Ф227 // Квант. — 1974. — № 4. — С. 32—40.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1974. — № 4. — С. 30—40.