«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
На сторонах $A_2A_3$, $A_3A_1$, $A_1A_2$ треугольника $A_1A_2A_3$ построены квадраты с центрами $O_1$, $O_2$, $O_3$, лежащие вне треугольника. Докажите, что:
На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать одно число — модуль их разности. После повторения указанной процедуры несколько раз на доске остаётся одно число. Какое это может быть число?
Дан треугольник $C_1C_2O$. В нём проводится биссектриса $C_2C_3$, затем в треугольнике $C_2C_3O$ — биссектриса $C_3C_4$ и так далее. Докажите, что последовательность величин углов $\gamma_n=\angle C_{n+1}C_n O$ стремится к пределу, и найдите этот предел,…
Докажите, что если $a$, $b$, $c$, $d$, $x$, $y$, $u$, $v$ — вещественные числа и $abcd\gt0$, то $$ \begin{gathered} (ax+bu)(av+by)(cx+dv)(cu+dy)\ge\\ \ge(acuvx+bcuxy+advxy+bduvy)(acx+bcu+adv+bdy). \end{gathered} $$
Сечения выпуклого многогранника тремя параллельными плоскостями $p_0$, $p_1$ и $p_2$ ($p_1$ расположена между $p_0$ и $p_2$ на одинаковом расстоянии $h$ от той и другой) имеют площади $S_0$,…
Текст задачи готовится
Дано $n$ фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более $\dfrac n2$. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.
На плоскости заданы три точки, являющиеся соответственно центрами вписанной, описанной и одной из вневписанных окружностей треугольника. Как по этим данным восстановить треугольник?
(Напомним, что вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из сторон…
Вычислите значение $\sqrt{0{,}\smash{\underbrace{11111\ldots11111}_{100}}}\vphantom{\underbrace0_0}$ с точностью
$AB$ и $CD$ — две различные касательные к двум данным шарам ($A$ и $C$ принадлежат поверхности одного шара, $B$ и $D$ — другого). Докажите, что проекции отрезков $AC$ и $BD$ на…
