«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
На плоскости расположено $N$ точек. Отметим все середины отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее количество точек плоскости может оказаться отмеченным?
Существует ли такая последовательность натуральных чисел, что любое натуральное число 1, 2, 3, $\ldots$ можно представить в виде разности двух чисел этой последовательности единственным способом?
На конгрессе собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что никакие двое учёных, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Докажите, что найдётся учёный, у которого ровно один друг.
$N$ гирь, каждая из которых весит целое число граммов, разложены на $K$ равных по весу куч. Докажите, что можно не менее чем $K$ разными способами убрать одну из гирь так, что оставшиеся $(N - 1)$ гири уже нельзя разложить на…
Для каких $n$ существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из $n$ звеньев, что любая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
Текст задачи готовится
На плоскости даны две прямые $m$ и $n$ и точка $O$. Постройте треугольник, две высоты которого лежат на данных прямых $m$ и $n$, а центр описанной окружности находится в точке $O$.
Квадрат $6\times6$ нужно заполнить 12 плитками, из которых $k$ имеют форму уголка, а остальные $12-k$ — прямоугольника (см. рис. 1). При каких $k$ это возможно?
В выпуклый $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$ вписан $n$-угольник $B_1B_2\ldots B_n$, площадь которого равна $P$ (вершина $B_i$ лежит нa стороне $A_iA_{i+1}$ для $i=1$, 2, $\ldots$, $n-1$, а вершина…
На рёбрах $A'D'$ и $C'D'$ куба $ABCDA'B'C'D'$ выбирают две точки $K$ и $M$ так, что плоскость $KDM$ касается шара, вписанного в куб (рис. 3). Докажите, что величина $\phi$ двухгранного угла при ребре…
