Колмогоров А. Н.

Решето ЭратосфенаКолмогоров А. Н. Решето Эратосфена // Квант. — 1974. — № 1. — С. 77.‍‍

Эта красивая форма решета Эратосфена‍ заимствована из книги М. Гарднера «Математические досуги» (изд-во «Мир», 1972). Все не перечёркнутые (красным или синим) числа — простые, кроме числа 121. Объясните, почему!

Задача 1. Чтобы получить список простых чисел, меньших $1000,$‍‍ надо «отсеять» числа, которые делятся на $2,$‍‍ $3,$‍‍ $5,$‍‍ $7,$‍‍ $11,$‍‍ $\ldots$‍.‍ На каком простом числе можно при этом остановиться?

Как изменится ответ для случая составления таблицы простых чисел, меньших $10\,000$‍?‍

Восклицательным знаком отмечены в таблице пары простых чисел «близнецов‍. В нашей таблице их девять.

Известно, что простых чисел бесконечно много. Но никто не знает, конечно или бесконечно множество пар близнецов.

Задача 2. Первые две пары близнецов $(3,5)$‍‍ и $(5,7)$‍‍ имеют общий элемент $(5)$‍.‍ «Расстояние» между второй и третьей парой близнецов $(11, 13)$‍‍ равно $$ 11-7=4. $$ Расстояние между третьей и четвёртой $(17,19)$‍‍ $$ 17-13=4, $$ между четвёртой и пятой $(29,31)$‍‍ $$ 29-19=10. $$ Докажите, что далее расстояние между соседними парами близнецов никогда не будет меньше четырёх.