«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа $n$, взаимно простого с числом 10, в последовательности можно указать такую группу стоящих подряд цифр, что записываемое этими цифрами число делится на $n$.
Даны два треугольника $A_1 A_2 A_3$ и $B_1 B_2 B_3$. Опишите вокруг треугольника $A_1 A_2 A_3$ треугольник $M_1 M_2 M_3$ наибольшей площади, подобный треугольнику $B_1 B_2 B_3$ (при этом вершина $A_1$ должна лежать на прямой $M_2 M_3$, вершина…
Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из вещественных чисел
равна 1. Какой
может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10…
Для любого треугольника $ABC$ можно вычислить такую сумму: $$ S = \tg^2 \dfrac{A}{2} + \tg^2 \dfrac{B}{2} + \tg^2 \dfrac{C}{2}. $$
Докажите, что
Рассмотрим последовательности, состоящие из 3000 цифр 1 и 2. В такой последовательности разрешается поменять местами любые две соседние тройки цифр. Две последовательности называются эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую несколькими такими перестановками. Сколько всего…
Текст задачи готовится
На окружности расположено множество $F$ точек, состоящее из 100 дуг. Известно, что при любом повороте $R$ окружности множество $R(F)$ имеет общую точку с $F$. (Другими словами, для любого $\alpha$ от $0^\circ$ до…
Докажите, что в любой арифметической прогрессии $a$, $a+d$, $a+2d$, $\ldots$, $a+nd$, $\ldots$, составленной из натуральных чисел, найдётся бесконечно много членов, в разложение которых на простые множители входят в точности одни…
В правильной усечённой пирамиде (рис. 1) точка $K$ — середина некоторой стороны $AB$ верхнего основания, $L$ — середина некоторой стороны $CD$ нижнего основания. Докажите, что проекции отрезков $AB$ и $CD$ на…
Пусть $k\lt n$ — натуральные числа. Расставьте числа 1, 2, 3, $\ldots$, $n^2$ в таблицу $n\times n$ так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в $k$-м столбце была
Динамометр, который скользит по гладкому горизонтальному столу, тянут с постоянной силой $F=4~\text{Н}$. Что показывает динамометр, если масса его пружины равна массе корпуса и отградуирован динамометр был в горизонтальном положении?
При передаче телевизионного изображения на Земле за 1 секунду передаётся 25 кадров. Это означает, что 1 кадр передаётся за $\dfrac{1}{25}$ секунды. В то же время, как известно, передача одного кадра изображения Луны советской автоматической станцией «Луна» длилась…
Волейбольный мяч массой 200 г и объёмом 8 л накачан до избыточного давления 0,2 атм. Мяч был подброшен на высоту 20 м и после падения на твёрдый грунт подскочил почти на ту же высоту. Оцените максимальную температуру воздуха в мяче в момент удара о грунт. Температура…
При повороте автобуса или автомобиля пассажиров отбрасывает в сторону, противоположную направлению поворота. В то же время, поворот самолёта совсем не ощущается его пассажирами. Объясните эту разницу.
Тонкая металлическая пластина площади $s$ залита слоем жидкого диэлектрика с плотностью $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ так, что толщина этого слоя много меньше линейных размеров пластины. Что произойдёт с жидкостью, если пластине сообщить…
