Изображения страниц
Текст статьи Задачи // Квант. — 1973. — № 6. — С. 39.
На плоскости нарисован треугольник
$ABC$ и проведены две пересекающиеся прямые. Точки$P$ и$Q$ движутся равномерно по этим прямым, причём точку пересечения прямых они проходят не одновременно. В каждый момент времени строится точка$R$ такая, что треугольник$PQR$ подобен треугольнику$ABC$, причём преобразование подобия сохраняет ориентацию треугольника.Найти геометрическое место точек
$R$. Обозначим через
$\phi(n)$ количество натуральных чисел, меньших$n$ и взаимно простых с$n$. Выразить через
$\phi(n)$ количество правильных звёздчатых многоугольников (т. е. самопересекающихся многоугольников, все стороны которых равны и все углы равны).Точка
$P$ лежит на окружности, описанной вокруг правильного$(2n+1)$ -угольника, причём$P$ лежит между вершинами$A_1$ и$A_{2n+1}$. Доказать, что сумма расстояний от точки
$P$ до вершин с нечётными индексами равна сумме расстояний от неё до вершины с чётными индексами.- В треугольниках
$ABC$ и$DEF$ дано, что$AB=DE$, $AC=DF$ и$\angle BAC\gt\angle EDF$. Доказать, что$\angle ABC$ меньше, равен или больше, чем$\angle DEF$, в зависимости от того, будет ли сумма$\angle ACB+\angle DFE$ меньше, равна или больше$180^\circ$. - Диагонали четырёхугольника
$ABCD$ пересекаются в точке$O$. Доказать, что если$BO=OD$ и$AB+BC=AD+DC$, то этот четырёхугольник или является параллелограммом, или симметричен относительно диагонали$AC$.
Ответы, указания, решения
- Точка
$R$ лежит на прямой. Указание. Взять систему координат, связанную с точкой$P$; точка$R$ получается поворотом отрезка$PQ$ вокруг точки$P$ на угол$CAB$ и растяжением с коэффициентом$\dfrac{CA}{CB}$. $\dfrac{\phi(n)}2-1$. Указание. Разделить окружность на$n$ равных частей точками$A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$. Многоугольник имеет вид$A_1A_{r+1}A_{2r+1}\ldots A_{(n-1)r+1}A_{nr+1}$ (при этом, если$kr+1\gt n$, то надо брать остаток от деления$kr+1$ на$n$, т. е.$A_{n+1}=A_1$, $A_{n+2}=A_2$, $\ldots$, а$A_{nr+1}=A_2$). Чтобы получился именно$n$ -угольник,$r$ должно быть взаимно простым с$n$. Многоугольники$A_1A_{r+1}\ldots$ и$A_1A_{n-r+1}\ldots$ совпадают (они отличаются лишь направлением обхода), а при$r=1$ (и$r=n-1$) получается не звёздчатый многоугольник.- Указание. Воспользоваться теоремой Птолемея.
- Указание. Поместить треугольники так, чтобы точки
$A$, $D$ и$B$, $E$ совпали, а$C$ и$F$ лежали по одну сторону от$AB$. Рассмотреть$\angle FBC$. - Легко показать, что площади треугольников
$ABC$ и$ADC$ равны. Из формулы Герона следует, что$|AB-BC|=|AD-DC|$. Учитывая, что$AB+BC=AD+DC$, находим, что либо$AB=AD$, $BC=DC$, либо$AB=DC$, $BC=AD$.