С корнем квадратным — сквозь историюС корнем квадратным — сквозь историю // Квант. — 1973. — № 6. — С. 28⁠—⁠29.‍‍

Совокупность цифр — эта бескрайняя азбука весьма выразительного языка математики — вот уже тысячелетиями поражает воображение человечества. Традиция интереса к очень крупным числам восходит, по крайней мере, к Архимеду, который, решив определить, сколько песчинок может поместиться во Вселенной, разработал систему классов и порядков арифметических величин. Он даже предложил принципы, с помощью которых можно «придумывать» названия сколь угодно больших чисел.

Однако интерес к квадратному корню из двух, видимо, возник ещё раньше. В собрании Вавилонских исторических ценностей, хранящемся в Йельском университете (Нью-Хейвен, штат Коннектикут), есть круглая глиняная табличка, отнссящаяся к 1750 г. до нашей эры. На ней изображён рассечённый диагоналями квадрат и чёткими клинописными знаками выписаны три цифры (см. фотографию). Когда их прочли, стало ясно, что без малого четыре тысячи лет назад в Вавилоне умели определять диагональ квадрата по его стороне, умножая её длину на квадратный корень из двух. Цифры на табличке как раз и представляют собой эту величину, выведенную с точностью до пятого знака: 1, 24, 51, 10. Ну что ж, это совсем неплохое приближение к истине, ведь $$ 1+\dfrac{24}{60}+\dfrac{51}{60^2}+\dfrac{10}{60^3}=1{,}41421. $$ Невольно хочется повторить: это подсчитано в XVIII веке до нашей эры!

За пять столетий до нашей эры школа Пифагора сделала одно из величайших математических открытий. Пифагорейцы пытались доказать, что любое число может быть выведено путём сложения, вычитания, умножения и деления положительных целых чисел. А корень квадратный из двух — число иррациональное и конечным числом таких операций не получается. Это и было обнаружено последователями Пифагора. Однако они любили всяческую секретность и «законспирировали» своё открытие на долгие годы.

Его доказательство впервые появилось в «Началах» Евклида около 300 г. до нашей эры. А затем примерно в 140 г. нашей эры Теону из Смирны удалось разработать интереснейший алгоритм вычисления корня квадратного из двух; этот алгоритм стал предтечей всей методики использования непрерывных дробей.

В XIX веке математик Дж. М. Бурман довёл вычисление квадратного корня из двух до 486-го десятичного знака. Его победа, добытая «голыми руками», омрачается тем, что в 316-м знаке Бурман допустил ошибку, и далее его вычисление уже неверно.

В последнее время интерес к подобным операциям стал не только данью традиции. «Неупорядоченные» величины, вроде корня квадратного из двух, могут служить для моделирования случайно происходящих массовых явлений, например возникновения и исчезновения рыночного спроса, характера движения машин на шоссе в часы «пик», числа телефонных вызовов в большой сети, для составления расписания прибытия самолётов. Всё это входит в круг математической теории с прозаическим названием «теория массового обслуживания».

Математикам необходимо знать, появляются ли где-либо в этой величине $\sqrt2$‍‍ такие последовательности, как, например, 7, 7, 7, 7, 7 или 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Подобные события теория пока предсказать не в силах, так что приходится добиваться ответа эмпирически, путём приближения и приближения к истине. Поэтому с момента появления скоростных электронных вычислительных машин математики не жалели сил и довели вычисление $\sqrt2$‍‍ до стотысячного знака. Недавним достижением была титаническая работа сотрудника Отдела математических методов в инженерном деле при Колумбийском университете профессора Жака Дутки (Нью-Йорк). Он специально разработал совершенно новый алгоритм и подсчитал величину пресловутого корня до миллион восемьдесят второго десятичного знака! Это наиболее длинная из всех вычисленных величин за всю историю математики.

Хотя алгоритм профессора Дутки и рассчитан на эффективное и быстрое вычисленке, мощная ЭВМ «IBM 360-91» потратила на эту работу сорок семь с половиной часов машинного времени. А ведь обычно решение даже сравнительно сложных задач отнимает у современной ЭВМ если не секунды, то лишь минуту. К этому нужно добавить сотни часов, ушедших у группы специалистов, составлявших программу для вычислений. В напечатанном виде результат работы Дутки занимает книгу в двести одну страницу сжатого текста — 5000 десятичных знаков на каждой странице.

Теперь Дутка и его сотрудники намерены заняться числами $\pi$‍‍ — отношением длины окружности к диаметру — и $e$‍‍ — основанием натурального логарифма. Эти «орешки» будут ещё труднее, чем корень квадратный из двух, но к $\pi$‍‍ математики испытывают прямо-таки «историческую нежность», а $e$‍‍ — одна из важнейших констант во всей системе исчисления, во всей высшей математике.

(The Sciences, Aug.—Sept., 1971, с. 25⁠—⁠26,
перевод и переработка Б. И. Силкина)