Изображения страниц
Текст статьи Разные задачи // Квант. — 1973. — № 6. — С. 13.
- Исключить
$x$, $y$, $z$ из уравнений $$ \begin{array}{c} xy(x+y)=c,\\ yz(y+z)=a,\\ zx(z+x)=b,\\ xyz=d. \end{array} $$ - Построить треугольник
$ABC$ ($BC\gt AB\gt CA$) по заданному углу$A$ и суммам длин сторон$AB+BC$ и$AB+AC$. - Решить систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} (ax)^{\lg a}=(by)^{\lg b},\\ b^{\lg x}=a^{\lg y}. \end{array}\right. $$
- Найти частное от деления на
$p-1$ числа, написанногов системе счисления с помощью$p$ -ичной$p-1$ единиц (т. е. числа$111\ldots1$). Как записывается это частноев системе счисления?$p$ -ичной - Три точки
$A$, $B$ и$C$ лежат на одной прямой. Построена окружность с центром в точке$A$. Найти геометрическое место точек пересечения прямых, соединяющих точки$B$ и$C$ с диаметрально противоположными точками окружности. - Три окружности проходят через точки
$M$ и$N$. Найти геометрическое место таких точек$P$, что касательные$PA$, $PB$ и$PC$, проведённые из точки$P$ к этим окружностям($A$, $B$, $C$ — точки касания), удовлетворяют соотношению$PA\cdot PB=k\cdot PC^2$. - Доказать, что если
$p$ — простое число, то остаток от деления$C_{p-1}^m$ на$p$ равен$(-1)^m$. - Доказать, что если
$p$ — простое число, большее трёх, то$\dfrac12C_{2p}^p-1$ делится на$p^3$.