Изображения страниц
Текст статьи Н. В. Геометрические задачи // Квант. — 1973. — № 6. — С. 57.
- Найти число треугольников, стороны которых — натуральные числа, не превышающие 2.
Найти число треугольников, стороны которых — натуральные числа, не превышающие
$n$. Разберите два случая:$n=2p$ ($p$ — натуральное);$n=2p+1$ ($p$ — натуральное).
- Доказать, что число
$\dfrac{4p^3+9p^2+5p}6$ целое при натуральных$p$. - Найти число треугольников, стороны которых — натуральные числа, не превышающие 20, и площадь которых — целое число.
Найти число треугольников, стороны которых — натуральные числа, не превышающие
$2p$ ($p$ — натуральное);$2p+1$ ($p$ — натуральное),
и площадь которых — целое число.
- Доказать, что в любом многоугольнике есть по крайней мере две стороны, отношение которых больше или равно 1 и меньше 2.
Точки
$P$, $Q$, $R$, $S$ делят стороны четырёхугольника$ABCD$ так, что$AP:PB=DQ:QC=m$ и$AR:RD=BS:SC=n$. Доказать, что отрезки
$PQ$ и$RS$ делят друг друга в том же отношении.
Ответы, указания, решения
- Пусть длина наибольшей стороны равна
$a$. Длины других сторон обозначим через$x$, $y$; они должны удовлетворять соотношениям$0\lt x\le a$, $0\lt y\le a$, $x+y\gt a$. На координатной плоскости этим треугольникам соответствуют точки в части квадрата$0\le x\le a$, $0\le y\le a$, причём$x$ и$y$ — целые. Подсчитав число таких точек и учитывая, что точек с координатами, удовлетворяющими неравенству$x+y\gt a$, столько же, сколько точек, удовлетворяющих неравенству$x+y\lt a$, причём точкам, симметричным относительно диагонали квадрата (прямой$y=x$), соответствуют одинаковые треугольники, получим $$ \dfrac{a(a+1)}4+\dfrac{\left[\dfrac{a+1}2\right]}2 $$ треугольников($[~]$ — целая часть числа). Просуммировав число треугольников от$a=1$ до$a=2p$, получим искомое число треугольников: $$ \dfrac{4p^3+9p^2+5p}6 $$ (для$n=2p+1$ подсчитайте сумму самостоятельно). - Предположим, что таких сторон нет. Расположим стороны по убыванию:
$r_1\ge r_2\ge\ldots\ge r_n\gt0$. Тогда$r_1\ge2r_2$, $r_2\ge2r_3$, $\ldots$, $r_{n-1}\ge2r_n$. Сложив эти неравенства и приведя подобные члены, получим: $$ r_1\ge r_2+r_3+\ldots+r_{n-1}+2r_n\gt r_2+\ldots+r_n. $$ Это противоречит тому, что$r_1$, $r_2$, $\ldots$, $r_n$ — стороны многоугольника. 1-й способ. Поместить веса в точки
$A$ — 1,$B$ —$m$, $C$ —$mn$ и$D$ —$n$ и найти двумя способами центр тяжести этой системы.2-й способ. Обозначим точку пересечения
$PQ$ и$RS$ через$T$. Выберем точку$D'$ так, чтобы$ABCD'$ был параллелограммом. Построим в нём аналогично точки$Q'$, $R'$ и$T'$. Для него доказываемая теорема верна (проверьте!), далее рассмотрите отрезок$T'T''\parallel QQ'\parallel RR'$ и докажите, что$T''$ и$T$ совпадают.