Каганов М. И.

‍,

Любарский Г. Я.

Электрон движется с трениемКаганов М. И., Любарский Г. Я. Электрон движется с трением // Квант. — 1973. — № 6. — С. 14‍—‍19.‍‍

Введение

Слово «трение» напоминает о движущихся частях машин, о санках, скользящих по снежному насту, о метеорите, раскаляющемся при пролёте через атмосферу. В одних случаях без трения нельзя обойтись, в других — делают всё возможное, чтобы от него избавиться. С трением приходится считаться лыжнику-слаломисту и инженеру-конструктору; поскользнувшийся прохожий сетует на отсутствие трения, а физики в лабораториях изыскивают способы уменьшения трения хотя бы на доли процента. Но, пожалуй, кто бы ни думал о трении, все представляют себе какое-либо макроскопическое тело (нога, колесо, винт парохода), взаимодействующее со средой или с другими телами.

А можно ли говорить о трении при движении микроскопической частицы, например, электрона?

В этой статье мы рассмотрим движение электронов в металле. Известно, что электроны совершают беспорядочное, хаотическое движение. Но если по проводнику идёт ток, то, кроме хаотического теплового движения, есть ещё и направленное движение электронов.

Очень сложно описать поведение каждого электрона в отдельности. Поэтому мы заменим движение всех частиц потоком одинаковых «средних» частиц, движущихся в одном направлении с одинаковыми средними скоростями. Это можно сделать, так как при векторном сложении всех скоростей скорости хаотического движения, направленные в разные стороны, дают в сумме нуль, и остаются только скорости направленного движения электронов под действием электрического тока. Оказывается, рассматривая поток «средних» электронов, можно не только понять процессы, происходящие в металлах, но и вывести правильные формулы, описывающие эти процессы. Конечно, такое «усреднённое» рассмотрение проще, чем подробное.

Электронный газ

То, что металлы хорошо проводят электрический ток, давно привело к мысли, что в металле есть свободные электроны.

Свободных электронов много. В одном кубическом сантиметре металла их около $10^{22} \div 10^{23}$‍.‍ Подобно молекулам в газе, они находятся в непрерывном движении. Так и говорят: «электронный газ» или «газ электронов проводимости». Правда, свойства этого газа существенно отличаются от свойств обычных газов. Электронный газ в металлах подчиняется законам квантовой механики. Из всех необычных (квантовых) свойств электронного газа для нас важно одно: средняя скорость хаотического движения электронов в металле слабо зависит от температуры и для большинства металлов приблизительно равна $\langle v \rangle\approx10^8~\dfrac{\text{см}}{\text{с}}$‍‍‍.

«Средний» электрон

Если по металлическому проводнику течёт ток, значит, к нему приложена разность потенциалов, причём между током $I$‍‍ и разностью потенциалов $U$‍‍ существует простая пропорциональность

$$ I=\dfrac{U}{R}. $$

Это — знаменитый закон Ома.

Сопротивление $R$‍‍ пропорционально длине проводника $L$‍‍ и обратно пропорционально площади его поперечного сечения $S$‍:‍

$$ R=\dfrac{\rho L}{S}. $$

Коэффициент пропорциональности $\rho$‍‍ (удельное сопротивление) зависит только от материала проводника и от того, в каких условиях этот проводник находится (какова его температура, например). Величину $\dfrac1\rho$‍‍ обычно обозначают буквой $\sigma$‍.‍ Это — удельная электропроводность. Если ввести теперь плотность тока $j=\dfrac{I}{S}$‍‍ и напряжённость электрического поля $E=\dfrac{U}{L}$‍,‍ то закон Ома перепишется в дифференциальной форме‍$$ \bm{j}=\sigma\bm{E}.\tag{1} $$

Величины, входящие в (1), не зависят от геометрических размеров проводника. Буквы $\bm{j}$‍‍ и $\bm{E}$‍‍ напечатаны жирным шрифтом, чтобы показать: напряжённость электрического поля и плотность тока — векторы.

Так как заряд переносят электроны (заряд каждого электрона $e\approx4{,}8\cdot10^{-10}$‍‍ электростатических единиц‍, $[e]=\dfrac{\text{г}^{1/2}\cdot\text{см}^{3/2}}{\text{с}}$‍),‍ то плотность тока можно выразить через число электронов в единице объёма ($n\approx10^{23}~\text{см}^{-3})$‍)‍ и среднее арифметическое значение их скорости $\overline{\bm{v}}$‍:‍ $$ \bm{j}=en\overline{\bm{v}}.\tag{2} $$

По металлу течёт ток; имеется направленный поток электронов; $\overline{\bm{v}}$‍‍ — скорость этого потока.

Формулу (2) можно «прочесть» несколько иначе, не учитывая хаотического движения электронов. В каждом кубическом сантиметре металла есть $n$‍‍ электронов, и все они движутся со скоростью $\overline{\bm{v}}$‍.‍ Подмена беспорядочно движущихся электронов, «сносимых» приложенным к металлу электрическим полем, одинаково движущимися «средними» электронами производится для упрощения, чтобы легче исследовать свойства проводников.

Со стороны приложенного к проводнику электрического поля на электрон действует сила, равная $$ \bm{F}=e\bm{E}.\tag{3} $$

Из формул (1), (2) и (3) следует, что скорость «среднего» электрона пропорциональна приложенной силе: $$ \overline{\bm{v}}=\dfrac{\sigma}{e^2n}\bm{F},\tag{4} $$ т. е. «средний» электрон движется по законам механики Аристотеля‍. Механика Аристотеля правильно описывает движение в тех случаях, когда тело движется с трением и приложенная постоянная сила уравновешивается силой трения. Следовательно, «средний» электрон под действием электрического поля движется по металлу с трением.

Подвижность

Главная характеристика частиц в механике Аристотеля — их подвижность $u$‍‍ — скорость частицы под воздействием единичной силы. Согласно формуле (4) подвижность «среднего» электрона равна $\dfrac\sigma{e^2n}$‍.‍

В отличие от средней скорости, подвижность не зависит от величины приложенной силы.

Принято не подвижность выражать через удельную электропроводность, а наоборот, удельную электропроводность выражать через подвижность: $$ \sigma=ne^2u.\tag{5} $$

Может возникнуть вопрос: зачем одну характеристику металла (электропроводность $\sigma$‍)‍ выражать через две другие?

Это делают потому, что величины $n$‍‍ и $u$‍‍ определяют различные, можно сказать, независимые характеристики металла. Число свободных электронов в единице объёма $n$‍‍ практически не изменяется с температурой, мало зависит от состояния образца данного металла (монокристалл или поликристалл, очень чистый или с небольшим количеством примесей). Подвижность $u$‍‍ характеризует силу сопротивления среды движению электронов. С изменением температуры она может измениться в сотни, тысячи раз; значительно увеличивается подвижность при очистке металла от примесей. Число электронов $n$‍‍ и подвижность $u$‍‍ допускают независимое экспериментальное определение.

Следует подчеркнуть ещё одно. Введение подвижности означает определённое проникновение в природу электропроводности: формула (5) имеет право на существование только в том случае, если ток переносится электронами. Вся совокупность экспериментальных фактов подтверждает такую точку зрения.

Эффект Холла

Если проводник, по которому течёт ток, поместить в магнитное поле $\bm{B}$‍‍ так, как показано на рисунке, то в направлении оси $y$‍‍ возникает разность потенциалов, пропорциональная величине тока и магнитного поля. Это явление называется эффектом Холла.

На электрон, находящийся в проводнике с током, кроме силы, действующей со стороны электрического поля, действует также сила Лоренца $$ E=\dfrac{e}{c}vB\sin(\widehat{\bm{v}\bm{B}}), $$ направление которой перпендикулярно скорости $\bm{v}$‍‍ и магнитному полю $\bm{B}$‍.‍

Ha «средний» электрон также действует сила Лоренца, величину которой можно определить, подставив вместо скорости $\bm{v}$‍‍ среднюю скорость $\overline{\bm{v}}$‍.‍

В нашем примере, согласно формуле (2), $\overline{v}=\dfrac{j}{en}$‍,‍ а $\sin(\widehat{\bm{v}\bm{B}})=1$‍‍ (см. рисунок). Поэтому $$ F=\dfrac{jB}{nc}.\tag{6} $$

Под действием этой силы электроны двигались бы в направлении оси $y$‍.‍ На самом же деле, как только некоторое число электронов скопится на краю пластины (деться им некуда), возникнет электрическое поле, действующее в направлении, противоположном силе Лоренца, и накопление зарядов прекратится.

Ясно, что установившимся движение зарядов будет тогда, когда $$ eE_y=F. $$

Подставив сюда значение $F$‍‍ из формулы (6), получим значение напряжённости поля Холла $$ E_y=\dfrac{jB}{nec}.\tag{7} $$

Мы получили значение поля Холла, возникающего в проводнике, помещённом в магнитное поле $B$‍,‍ когда по нему течёт ток с плотностью $j$‍.‍ При этом мы рассматривали только «средние» электроны, движущиеся со средней скоростью.

Простота полученной формулы должна несколько насторожить. Верна ли она всегда? Не является ли её простота следствием упрощённого («усреднённого») рассмотрения? К сожалению, приходится констатировать, что это действительно так. Подробное, учитывающее движение каждого электрона рассмотрение приводит к более сложной формуле, но (и это для нас важно!) порядок величины поля Холла получится тот же. Поэтому простая формула (7) позволяет оценить число свободных электронов в единице объёма: ведь все величины, входящие в формулу (7), за исключением $n$‍‍ (числа частиц — носителей заряда), определяются экспериментально.

Измерения показывают, что у хороших металлов, как мы и говорили, $n=10^{22}\div10^{23}~\text{см}^{-3}$‍.‍ Это означает, что от каждого атома металла оторвался и свободно движется по кристаллу по крайней мере один или даже несколько электронов.

Зная число электронов в единице объёма, можно подсчитать подвижность электронов в металле. Возьмём из справочника удельное сопротивление меди $\rho_{\text{Cu}}$‍‍ (как правило, в справочнике приводится значение удельного сопротивления при комнатной температуре): $$ \rho_{\text{Cu}}\approx1{,}7\cdot10^{-6}~\text{Ом}\cdot\text{см}\approx1{,}8\cdot10^{-18}~{с}. $$

Не удивляйтесь, что размерность удельного сопротивления — секунда. Проверьте это, воспользовавшись выражением для удельной электропроводности через подвижность.

Разделив $\sigma=\dfrac1\rho$‍‍ на $ne^2\approx4\cdot10^{22}\cdot4{,}8\cdot10^{-10})^2=0{,}9\cdot10^4$‍,‍ получим, что подвижность электронов в меди приблизительно равна $6\cdot10^{12}~\dfrac{\text{с}}{\text{г}}$‍.‍ Много это или мало? Если сравнивать с подвижностью электронов той же меди при очень низких температурах, то мало. При температурах, близких к абсолютному нулю, подвижность в сотни и тысячи раз больше. Если сравнивать с подвижностью электронов в других проводниках, то много. Электроны меди — одни из наиболее подвижных.

Для того чтобы ощутить, что представляет собой подвижность, вычислите скорость «среднего» электрона, скажем, когда по металлу течёт ток, плотность которого равна $1~\dfrac{\text{A}}{\text{мм}^2}$‍‍‍.

Если вы не ошиблись при расчёте, то вас, наверное, поразило, как мала средняя скорость: под действием электрического поля электронный газ медленно перемещается по проводнику. Это конечно, ни в коей мере не противоречит утверждению о том, что средняя скорость хаотического движения очень велика.

Время свободного пробега

Тот факт, что по проводнику под действием постоянного поля течёт постоянный ток, показывает, что электроны, приобретающие энергию от электрического поля, отдают её металлу (точнее было бы сказать: кристаллической решётке металла); в металле при прохождении тока выделяется тепло (его называют джоулевым). Чтобы не противоречить ранее высказанному утверждению о свободе электронов в металлах (мы его скоро проверим!), предположим, что каждый электрон движется в течение времени $\tau$‍‍ под действием внешнего поля, а потом, в коротком акте столкновения с чем-то, отдаёт приобретённую от электрического поля энергию ($\tau$‍‍ — время свободного пробега электрона). Так как ускорение электрона равно $\dfrac{eE}m$‍,‍ то прирост скорости за время $\tau$‍‍ равен $\dfrac{e\tau}{m}E$‍,‍ а средний ток есть‍$$ j=\dfrac{ne^2\tau}{m}E.\tag{8} $$ Сравнивая эту формулу с формулами (1) и (5), находим $$ \rho=\dfrac{m}{ne^2\tau};\quad u=\dfrac{\tau}{m}.\tag{9} $$ Это — очень важные формулы. Они связывают макроскопические величины (удельное сопротивление, подвижность) с параметрами, характеризующими движение отдельных электронов. Не надо, правда, забывать, что $\tau$‍‍ — тоже средняя характеристика.

Вместо времени свободного пробега иногда удобно пользоваться понятием длины свободного пробега: $$ l=\langle v\rangle\tau,\tag{10} $$ $l$‍‍ — расстояние, которое проходит (в среднем) электрон между двумя столкновениями, $\langle v\rangle$‍‍ — средняя скорость хаотического движения электронов. Для электронного газа, как мы уже говорили, $\langle v\rangle$‍‍ не зависит от температуры и температурные зависимости $l$‍‍ и $\tau$‍‍ совпадают.

Теперь проверим, можно ли в действительности считать электроны проводимости свободными. Выше мы подсчитали подвижность электронов меди. Она оказалась равной $6\cdot10^{12}~\dfrac{\text{с}}{\text{г}}$‍.‍ Отсюда и из формул (9) и (10) следует: $$ \tau\approx2\cdot10^{-14}~\text{с};\quad l\approx2\cdot10^{-6}~\text{см},\tag{11} $$ так как $m\approx10^{-27}~\text{г}$‍,‍ a $$ \langle v\rangle\approx3\cdot10^8~\text{см}/\text{с}. $$

Значения $\tau$‍‍ и $l$‍‍ полностью подтверждают наше представление о свободе электронов проводимости: между двумя столкновениями электрон проходит расстояние, в сто раз превышающее размеры атома! При понижении температуры электропроводность металлов возрастает, возрастает подвижность электронов, а следовательно, возрастает и время свободного пробега — более отчётливо проявляется свобода электрона.

Можно ли непосредственно измерить время свободного пробега электронов $\tau$‍‍ или их длину свободного пробега $l$‍?‍ Отвечая на этот вопрос, мы не должны забывать, что в эксперименте мы всегда имеем дело со всеми электронами сразу — просто с образцом металла (проволочкой, пластинкой). Или, другими словами, следим за движением «среднего» электрона, подчиняющегося законам механики Аристотеля.

Теплопроводность

Мы рассмотрели одну причину, заставляющую двигаться «средний» электрон, — действие электрического поля. Можно заставить двигаться электроны и другим способом: поддерживать на концах металлического образца разность температур $T_1-T_2$‍.‍ Электроны устремляются от тёплого конца к холодному в попытке выравнять температуру — по металлу потечёт ток. В разомкнутом проводнике возникнет электрическое поле, препятствующее движению электронов (в разомкнутом проводнике $j=0$‍),‍ но если поддерживать разность температур, то тепло будет перетекать, и переносить его будут электроны.

Противоречия в этой фразе нет: $j=0$‍‍ означает, что от холодного и от горячего концов образца движется с одинаковой средней скоростью одинаковое число электронов. Но обе группы электронов несут различные количества тепловой энергии: группа, которая движется от нагретого конца, несёт больше тепла.

Анализ процесса переноса тепла электронами показывает, что коэффициент теплопроводности (коэффициент пропорциональности между $\dfrac{T_1-T_2}{L}$‍,‍ где $L$‍‍ — длина проводника, и плотностью потока тепла) равен‍$$ \varkappa=\dfrac13Cl\langle v\rangle,\tag{12} $$ где $C$‍‍ — теплоёмкость электронного газа, которая линейно зависит от абсолютной температуры (это ещё одно проявление квантовых свойств газа электронов проводимости). Из формул (12), (9) и (10) видно, что из отношения $\dfrac{\rho\varkappa}T$‍‍ выпадают величины, зависящие от температуры‍, т. е. $\dfrac{\rho\varkappa}T$‍‍ не зависит от температуры металла: $$ \dfrac{\rho\varkappa}{T}=\text{const}.\tag{13} $$

Более подробное рассмотрение показало бы, что «константа» не зависит даже от сорта металла. Для всех металлов она одна и та же. Формула (13) была получена на основании анализа экспериментальных фактов и носит название закона Видемана‍—‍Франца. Её вывод показывает, что мы правильно понимаем «устройство» металла.

Заключение

Ясно, что, заменив хаотически движущиеся электроны одинаковыми «средними» электронами, мы упростили задачу исследования свойств металла. Но простота не даётся даром. За неё надо платить. Чем же мы платим за эту простоту? Во-первых, тем, что не всегда получаем точные формулы (мы специально отметили это обстоятельство после вывода формулы для поля Холла). Во-вторых (и это самое главное), отказом от углубления наших представлений. Мы согласились выражать силу трения «среднего» электрона через подвижность, выразили подвижность через среднее время свободного пробега и... остановились. Остановились в продвижении к более полному пониманию процессов, происходящих в металле при прохождении через него электрического тока. Исследование поведения всех электронов, их взаимодействия с ионами кристаллической решётки металла позволило бы нам не только ввести подвижность и время свободного пробега, но и вычислить эти величины. Тем самым определить, как удельное сопротивление зависит от температуры.