Текст статьи Гарднер М. Пальцы — счётная машина / подготовлено к публикации А. С. Варпаховским // Квант. — 1973. — № 6. — С. 75—77.
Считать люди научились давно, и антропологам ещё предстоит найти первобытное общество, члены которого не умели считать. Долгое время среди учёных существовало мнение, что первобытные племена могли считать только до двух, так как для обозначения чисел у них были слова «один», «два» и «много». При этом поражала их сверхъестественная способность, просмотрев стадо овец, сказать, что одна овца пропала. Объясняли это феноменальной памятью древних людей, которая позволяла им запоминать «форму» всего стада или каждую овцу по её виду. Более поздние исследования показали, что применение одного слова для всех чисел, больших двух, не означало, что люди ничего не знали о разнице между пятью и шестью камнями и что обозначение одним словом голубого и зелёного не означало, что они не видят разницы в цвете между зелёной травой и голубым небом. Племена с ограниченным запасом слов имели тщательно разработанные способы счёта на пальцах рук и ног. Первобытные общества различались не только своим выбором основания системы счисления, но и манерой счёта. Так как у большинства людей правая рука более активная, то счёт обычно начинали с большого пальца или мизинца левой руки, дотрагиваясь правой рукой до пальцев левой руки, либо загибая пальцы левой руки, либо отгибая пальцы, ранее сжатые в кулак. Известны и другие способы счёта. Так, например, жители островов Бенгальского залива начинали счёт с мизинца, дотрагиваясь до своего носа очередным пальцем, а на острове между Австралией и Новой Гвинеей люди считали до пяти, постукивая пальцами левой руки, а затем переходили не на правую руку, а на левое запястье, локоть, плечо, левую грудь и т. д. и продолжали счёт, изменяя этот порядок на обратный, но уже с правой стороны тела. Математики заметили, что постукивание при счёте применялось для обозначения порядковых чисел (первый, второй и т. д.), а когда пальцы поднимались сразу, то это обозначало количественные числа.
Хотя подавляющее большинство систем счёта на пальцах имело в основании число десять (они были, как мы теперь говорим, десятичными), можно также легко считать на пальцах в системах с другими основаниями. Пальцы особенно удобны для счёта в самой простой системе —
Уже в средние века был известен метод умножения чисел от 6 до 10, т. е. чисел, больших 5. В 1492 году было определено общее правило использования дополнения двух чисел до 10. (Дополнение числа
Способ умножения на пальцах можно легко обобщить и на следующие полудекады, хотя для всех полудекгд, оканчивающихся на 5, применяется несколько другое правило. Рассмотрим полудекаду 11—15, и пусть надо перемножить 14 и 13. Пальцам присваиваются номера от 11 до 15 и пальцы с номерами перемножаемых чисел соединяются (рис. 3). Семь нижних пальцев умножаются на 10 и получают 70. Далее определяется произведение нижних пальцев
Если полудекада оканчивается на нуль, то сложение производится по первому способу! Для полудекады от 16 до 20 каждый нижний палец имеет значение 20 и добавлять нужно 200. Так, при умножении
На пальцах можно перемножить числа и из разных полудекад, но процедура в этом случае гораздо сложнее, так как одинаковые пальцы каждой руки имеют разные значения. Но всегда можно большое число разбить на малые числа, выполнить несколько умножений, а результат получить, просуммировав результаты умножений. Например,
На первый взгляд может показаться, что считать на пальцах довольно сложно. Однако если немного попрактиковаться, то думаю, читатель убедится в том, что способ счёта на пальцах весьма удобен.