Текст статьиБолтянский В. Г. Доказательства теорем Гюльдена // Квант. — 1973. — № 6. — С. 9—13.
В статье Б. С. Эпплеля, помещённой в этом номере «Кванта», сформулированы две теоремы Гюльдена. Обычно они доказываются (с применением интегралов) в курсах «высшей математики». Ниже приводятся простые доказательства этих теорем, которые, хотя и основаны на тех же идеях, что и «интегральные» доказательства, но в явном виде интегралов не содержат.
В этих доказательствах не обсуждается, что такое длина произвольной кривой, что такое площадь поверхности, объём тела и т. д. Подобные вопросы относятся к теории измерения геометрических величин. (Кстати, при доказательстве теорем Гюльдена методами интегрального исчисления они, как правило, тоже не рассматриваются.) Читателю, который хотел бы получить ответы на эти вопросы, можно порекомендовать прочесть первые две статьи V тома «Энциклопедии элементарной математики» (М.: Наука, 1966).
Прежде всего установим справедливость следующего предложения.
Лемма. Пусть в плоскости по одну сторону от прямой $l$ расположено несколько материальных точек одинаковой массы. Тогда центр тяжести этой системы точек удалён от прямой $l$ на расстояние, равное среднему арифметическому расстояний этих точек от прямой $l$.
Эта лемма легко доказывается методом математической индукции. Обозначим число рассматриваемых точек через $n$, сами точки через $M_1$, $M_2$, $\ldots$, $M_n$, массу каждой точки через $m$, а расстояния точек от прямой $l$ через $r_1$, $r_2$, $\ldots$, $r_n$.
Перейдём к доказательству леммы. Если $n=1$, то утверждение леммы очевидно. Без труда проверяется справедливость леммы и при $n=2$. Проведём теперь очередной шаг индукции, т. е. покажем, что если лемма справедлива для меньшего, чем $n$, числа материальных точек, то она справедлива и для $n$ точек. Пусть $P$ — центр тяжести материальных точек $M_1$, $M_2$, $\ldots$, $M_{n-1}$. Согласно предположению индукции, точка $P$ находится от прямой $l$ на расстоянии
$$
r=\dfrac{r_1+r_2+\ldots+r_{n-1}}{n-1}.
$$
Мы можем теперь систему материальных точек $M_1$, $M_2$, $\ldots$, $M_{n-1}$ заменить одной точкой $P$, сосредоточив в ней массу, равную $(n-1)m$. Теперь осталось найти центр тяжести $O$ двух материальных точек $P$ и $M_n$. Так как точка $P$ имеет массу $(n-1)m$, а точка $M_n$ — массу $m$, то $PO:OM_n=1:(n-1)$. Следовательно, если $r^*$ — расстояние от точки $O$ до прямой $l$ (рис. 1), то $$
(r-r^*):(r^*-r_n)=1:(n-1),
$$
откуда
$$
r^*=\dfrac{(n-1)r+r_n}{n}=\dfrac{r_1+r_2+\ldots+r_{n-1}+r_n}n.
$$
Таким образом, утверждение леммы справедливо для $n$ материальных точек. Проведённая индукция и доказывает лемму.
Рис. 1Рис. 2Рис. 3
Перейдём теперь к доказательству первой теоремы Гюльдена. Прежде всего докажем, что эта теорема справедлива, если плоская линия, о которой идёт речь в теореме, является $n$-звенной ломаной, у которой все звенья имеют одну и ту же длину $m$. Середины звеньев ломаной обозначим через $M_1$, $M_2$, $\ldots$, $M_n$, а расстояния этих точек от прямой $l$ — через $r_1$, $r_2$, $\ldots$, $r_n$ (рис. 2). При вращении рассматриваемой ломаной вокруг прямой $l$ получается поверхность (рис. 3), состоящая из $n$ частей, каждая из которых представляет собой боковую поверхность усечённого конуса. Так как боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины образующей на длину окружности среднего сечений, то площадь получившейся поверхности вращения равна
$$
S=m\cdot2\pi r_1+m\cdot2\pi r_2+\ldots+m\cdot2\pi r_n.
$$
Замечая, что длина рассматриваемой ломаной (рис. 2) равна $P=nm$, можно переписать выражение для площади так:
$$
S=P\cdot2\pi R,\tag1
$$
где $$
R=\dfrac{r_1+r_2+\ldots+r_n}n.\tag2
$$
Но центр тяжести ломаной, т. е. центр тяжести системы точек $M_1$, $M_2$, $\ldots$, $M_n$, в каждой из которых сосредоточена масса $m$, согласно лемме, отстоит от прямой $l$ на расстоянии $R$. Это и означает, что в рассматриваемом частном случае первая теорема Гюльдена справедлива.
Обратимся теперь к общему случаю. Пусть $K$ — плоская линия, а $\varPi$ — поверхность, получающаяся при вращении линии $K$ вокруг прямой $l$. Разведём ножки циркуля на некоторое расстояние $m$ и будем, начиная от одного конца линии $K$, откладывать засечки вдоль линии $K$ (рис. 4) столько раз, сколько мы сможем это сделать. Соединяя последовательно точки, полученные при выполнении этих засечек, мы получим ломаную $L$, вписанную в линию $K$, причём все звенья ломаной $L$ имеют одну и ту же длину $m$ (рис. 5). При вращении ломаной $L$ вокруг прямой $l$ получится поверхность $T$, вписанная в поверхность $\varPi$.
Как мы уже знаем, площадь $S$ поверхности $T$ вычисляется по формуле (1), где $P$ — длина линии $L$, а $R$ — расстояние от центра тяжести линии $L$ от прямой $l$. Будем теперь в этом построении считать, что $m\to0$. Тогда длина $P$ ломаной $L$ будет стремиться к длине линии $K$, площадь поверхности $T$ будет стремиться к площади поверхности $\varPi$, а центр тяжести ломаной $L$ будет приближаться к центру тяжести линии $K$. Так как для любого $m$ соотношение (1) для ломаной $L$ справедливо, то, переходя к пределу при $m \rightarrow 0$, мы найдём, что соотношение (1) справедливо и для линии $K$. Этим и завершается доказательство первой теоремы Гюльдена.
Рис. 4Рис. 5Рис. 6
Обратимся теперь к доказательству второй теоремы Гюльдена. Прежде всего рассмотрим шайбу, т. е. тело, получающееся при вращении прямоугольника вокруг прямой, которая не пересекает прямоугольника и параллельна двум его сторонам (рис. 6). Объём шайбы легко вычислить как разность объёмов двух цилиндров. Предоставляем читателю самостоятельно вычислить этот объём $V$ и убедиться, что для шайбы справедлива вторая теорема Гюльдена, т. е.
$$
V=S\cdot2\pi r,\tag3
$$
где $S$ — площадь вращающегося прямоугольника, а $r$ — расстояние его центра тяжести от оси вращения $l$.
Пусть теперь $F$ — плоская фигура площади $S$, а $l$ — лежащая в её плоскости прямая, не пересекающая фигуры $F$. Возьмём произвольное натуральное число $n$ и проведём $n-1$ прямых, перпендикулярных $l$ и разбивающих фигуру $F$ на $n$ «долек», каждая из которых имеет одну и ту же площадь $\dfrac{1}{n} S$ (рис. 7). Каждая «долька» ограничена двумя отрезками, перпендикулярными $l$, и двумя дугами, соединяющими концы этих отрезков. (Правда, если фигура $F$ — не выпуклая, то могут быть и более сложные «дольки», как, например, на рис. 8; однако проводимые рассуждения применимы и к этому случаю.) Заменим эти дуги отрезками, параллельными $l$, так, чтобы площадь дольки при этом не изменилась (т. е. «долька» превратилась в прямоугольник той же площади $\dfrac1nS$). Проделав это с каждой «долькой», мы превратим $F$ в «ступенчатую» фигуру $G$, мало отличающуюся от фигуры $F$. Фигура $G$ составлена из $n$ прямоугольников, каждый из которых имеет площадь $\dfrac1nS$. Центры тяжести этих прямоугольников обозначим через $M_1$, $M_2$, $\ldots$, $M_n$ (рис. 9), а их расстояния от прямой $l$ — через $r_1$, $r_2$, $\ldots$, $r_n$.
Рис. 7Рис. 8Рис. 9
При вращении фигуры $F$ вокруг прямой $l$ получается тело $X$, объём которого требуется найти, а при вращении фигуры $G$ вокруг прямой $l$ получается тело $Y$, мало отличающееся от тела $X$. Так как фигура $G$ составлена из $n$ прямоугольников, то тело $Y$ составлено из $n$ шайб. Вычисляя объём каждой шайбы по формуле (3), легко найдём объём $V$ тела $Y$:
$$
V=\dfrac1nS\cdot2\pi r_1+\dfrac1nS\cdot2\pi r_2+\ldots+\dfrac1nS\cdot2\pi r_n,
$$
т. е.
$$
V=S\cdot2\pi R,\tag4
$$
где $R$ вычисляется по формуле (2). Заметим теперь, что центр тяжести площади фигуры $G$, т. е. центр тяжести системы точек $M_1$, $M_2$, $\ldots$, $M_n$, в каждой из которых сосредоточена масса $\dfrac{1}{n} S$, согласно лемме, отстоит от прямой $l$ на расстоянии $R$. Формула (4) означает, следовательно, что для фигуры $G$ вторая теорема Гюльдена справедлива.
Будем теперь в этом построении считать, что $n\to\infty$. Тогда объём тела $Y$, получающегося при вращении фигуры $G$, будет стремиться к объёму тела $X$, а центр тяжести фигуры $G$ будет стремиться к центру тяжести фигуры $F$. (Заметим, что площади фигур $F$ и $G$ одинаковы.) Так как для любого $n$ соотношение (4) для фигуры $G$ справедливо, то, переходя к пределу при $n\to\infty$, мы найдём, что соотношение (4) справедливо и для фигуры $F$. Этим завершается доказательство второй теоремы Гюльдена.
Вторую теорему Гюльдена можно условиться считать «трёхмерной» теоремой Гюльдена, так как она говорит об объёме тела вращения. Первую теорему Гюльдена можно назвать «двумерной», так как она говорит о площади поверхности вращения. Можно по аналогии сформулировать «одномерную теорему Гюльдена»:
Пусть в плоскости по одну сторону прямой $l$ даны несколько точек. Тогда суммарная длина $C$ окружностей, получающихся при вращении этой системы точек вокруг прямой $l$, равна произведению числа точек на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения $l$ до центра тяжести этой системы точек:
$$
C=n\cdot2\pi R,
$$
где $n$ — число точек, а $R$ — расстояние от центра тяжести до оси вращения.
Читатель без труда сам докажет эту простенькую теорему.
Любопытно, что все три теоремы Гюльдена (трёхмерная, двумерная и одномерная) могут быть объединены одной общей формулировкой. Делается это так. Будем называть нульмерной фигурой любое множество, состоящее из конечного числа точек. Далее, нульмерным объёмом нульмерной фигуры условимся называть число точек этой фигуры. Линии условимся называть одномерными фигурами; длину линии будем называть её одномерным объёмом. Поверхности (в частности, плоские фигуры) условимся называть двумерными фигурами, а площадь поверхности — её двумерным объёмом. Наконец, тела будем называть трёхмерными фигурами, а объём тела будем также называть его трёхмерным объёмом.
Теорема Гюльдена. Пусть в плоскости по одну сторону прямой $l$ расположена $(k-1)$-мерная фигура$F$ (здесь $k$ — любое из чисел 1, 2, 3). Через $S$ обозначим $(k-1)$-мерный объём фигуры $F$, а через $R$ — расстояние от её центра тяжести до прямой $l$. При вращении фигуры $F$ вокруг прямой $l$ получается $k$-мерная фигура, $k$-мерный объём которой вычисляется по формуле
$$
V=S\cdot2\pi R.
$$
При $k=3$ это даёт «трёхмерную» теорему Гюльдена; при $k=2$ и 1 получаем (только в иных обозначениях) «двумерную» и «одномерную» теоремы.
Наконец, отметим (для читателя, знакомого с понятиями многомерной геометрии), что приведённая выше общая формулировка теоремы Гюльдена применима к $n$-мерному евклидову пространству — только вместо плоскости надо рассматривать $(n-1)$-мерную плоскость, а в качестве $l$ надо взять $(n-2)$-мерную плоскость. Число $k$ в этой теореме может (в случае $n$-мерного пространства) принимать любое из значений 1, 2, $\ldots$, $n$.
А чтобы не огорчались читатели, не знакомые с понятиями многомерной геометрии, сформулируем получающуюся теорему для $n=2$ (т. е. для случая плоскости).
Теорема Гюльдена на плоскости. Пусть на прямой по одну сторону от точки $O$ расположена $(n-1)$-мерная фигура$F$ (здесь $k$ — любое из чисел 1, 2). Через $S$ обозначим $(k-1)$-мерный объём фигуры $F$, а через $R$ — расстояние её центра тяжести от точки $O$. При вращении фигуры $F$ вокруг точки $O$ получается $k$-мерная фигура, $k$-мерный объём кoторой вычисляется по формуле
$$
V=S\cdot2\pi R.
$$
В частности, при $k=1$ (т. е. в случае, когда фигура $F$ состоит из нескольких отрезков, рис. 10) эта формула позволяет вычислить сумму площадей нескольких концентрических колец.
