Изображения страниц
Текст статьи [Задачи] // Квант. — 1973. — № 5. — С. 55.
- Доказать, что при любом натуральном
$n$ число $$ 6^{2(n+1)}-2^{n+3}\cdot3^{n+2}+36 $$ делится нa 900. - Имеются два больших непрозрачных сосуда. В одном из них — керосин, в другом — керосин с водой. Как можно различить эти сосуды, имея в своём распоряжении динамометр и гирьку на верёвочке?
- Все натуральные числа от 1 до 100 разбиты на две группы: чётные и нечётные числа. Определить, в какой из групп сумма всех цифр, использованных для записи чисел, больше и на сколько.
- Первый автомобиль едет со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью должен ехать второй автомобиль, чтобы проходить каждый километр на 2 минуты быстрее? На 1 минуту быстрее? Вообще, на сколько быстрее может проходить второй автомобиль 1 км?
- На рисунке в формуле цифры заменены цветными звёздочками (для каждой цифры — своя звёздочка). $$ \def\b{{\bm{*}}} \def\g{\textcolor{green}{\b}} \def\r{\textcolor{red}{\b}} \b\b\cdot\b\g\r\cdot\g\r=\b\g\r\b\g\r. $$ Восстановите формулу.
- Почему ручки к дверям привинчивают у «свободного» края?
Ответы, указания, решения
- Представить данное выражение в виде
$36(6^n-1)^2$. - Привяжите гирьку на верёвочке к динамометру и медленно опускайте её поочерёдно в каждый сосуд. При движении гирьки в сосуде с керосином показания динамометра не изменяются. Во втором сосуде при прохождении границы керосин—вода сила, которую показывает динамометр, скачком уменьшается, так как плотность керосина меньше плотности воды.
- Сумма цифр нечётных чисел больше на 49.
- Автомобиль не может проходить каждый километр на 1 минуту быстрее и, тем более, на 2 минуты быстрее. Если считать, что максимальная скорость, развиваемая автомобилем, равна 180 км/ч, то каждый километр можно проходить быстрее на 40 секунд.
$77\cdot713\cdot13=713\,713$. - Здесь действует правило рычага: чем меньше плечо, тем большую силу нужно приложить. Если бы ручка была привинчена близко к оси вращения двери, необходимо было бы приложить значительно большее усилие, чтобы открыть дверь.