Бендукидзе А. Д.

О распределении простых чиселБендукидзе А. Д. О распределении простых чисел // Квант. — 1973. — № 5. — С. 56⁠—⁠57.‍‍

1. Как мы уже знаем, множество простых чисел, являющееся частью бесконечного множества натуральных чисел, само является бесконечным. Естественно возникает вопрос: как эта часть расположена в целом? К сожалению, никакого простого закона в распределении простых чисел не обнаружено, хотя некоторые закономерности легко доказываются.

Возьмём, например, множество простых чисел, не превосходящих 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

В начале этого ряда стоят 2 и 3. Они и в ряду натуральных чисел стоят по соседству. Легко сообразить, что это единственный случай, когда из двух соседних натуральных чисел оба простые — ведь все простые числа, кроме числа 2, нечётны.

Идём дальше. После 3 стоит 5; «расстояние» между ними равно двум. Таково же «расстояние» между членами следующей пары — 5 и 7. А вот между 7 и 11 уже три составных числа. Далее опять пара соседних нечётных чисел: 11 и 13. Наиболее «удалёнными» в нашем списке являются 89 и 97 — между ними семь составных чисел. Но продолжая этот ряд простых чисел, мы обнаружим и числа, «расстояние» между которыми больше восьми. Такими будут, например, 113 и 127, 139 и 149. При этом опять встретятся числа с наименьшим возможным «расстоянием», например, 149 и 151, 179 и 181, 191 и 193. Постараемся теперь выяснить, насколько большим может быть «расстояние» между двумя соседними простыми числами.

Возьмём, например, число 100 и докажем, что можно найти 100 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого. Для этого перемножим все натуральные числа от двух до 101 включительно. Полученное число обозначим через A: $$ A=2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot\ldots\cdot98\cdot99\cdot100\cdot101. $$

Ясно, что оно без остатка делится на 2, 3, 4, $\ldots$‍,‍ 100, 101. Рассмотрим теперь следующие 100 последовательных натуральных чисел: $$ A+2,~A+3,~A+4,~{\ldots},~A+99,~A+100,~A+101. $$

Все эти числа составные. В самом деле, первое из них делится на 2 (так как на 2 делятся оба слагаемых), второе — на 3 (оба слагаемых делятся на 3), третье — на 4 и т. д. Последнее $A+101$‍‍ делится на 101.

Итак, мы нашли 100 последовательных чисел и все они составные. Аналогично можно найти 1000, $10\,000$‍‍ и более следующих друг за другом составных чисел. Таким образом, «расстояние» между двумя соседними простыми числами может быть сколь угодно большим.

2. Если не принимать во внимание единственное исключение — числа 2 и 3, то наименьшее «расстояние» между соседними простыми числами равно двум. В первой сотне 8 таких пар: $$ (3,5),~(5,7),~(11,13),~(17,19),~(29,31),~(41,43),~(59,61),~(71,73). $$

Такие пары простых чисел называются близнецами. Но неизвестно даже, конечно или бесконечно множество близнецов. Наибольшей из известных пар-близнецов является пара $(1\,000\,000\,009\,649, 1\,000\,000\,009\,651)$‍.‍

3. Коснёмся ещё одного вопроса, связанного с простыми числами. Возьмём отрезок ряда натуральных чисел от 1 до некоторого $n$‍‍ включительно. На этом отрезке имеется определённое количество простых чисел. Число их принято обозначать через $\pi(n)$‍‍‍. Чему равно $\pi(n)$‍‍ для отдельных значений $n$‍?‍

Для малых $n$‍‍ это легко подсчитать. Например, $\pi(1)=0$‍,‍ $\pi(2)=1$‍,‍ $\pi(3)=2$‍,‍ $\pi(4)=2$‍,‍ $\pi(5)=3$‍,‍ $\pi(6)=3$‍,‍ $\pi(7)=4$‍,‍ $\pi(8)=4$‍,‍ $\pi(9)=4$‍,‍ $\pi(10)=4$‍.‍

Сразу замечается нерегулярное изменение $\pi(n)$‍.‍ Вообще, никакой простой формулы для $\pi(n)$‍‍ написать нельзя.

Тем не менее, увеличивая $n$‍,‍ можно заменить, что «средняя плотность» простых чисел, т. е. отношение $\dfrac{\pi(n)}n$‍‍ становится всё меньше и меньше. Это хорошо видно из следующей таблицы: $$ \def\a#1{\hphantom{1\,000\,000\,000}\mathllap{#1}} \def\b#1{\hphantom{50\,847\,478}\mathllap{#1}} \def\c#1{\mathrlap{#1}\hphantom{0{,}066}} \begin{array}{|c|c|c|}\hline\\[-6pt] n&\pi(n)&\dfrac{\pi(n)}n\\[10pt]\hline\\[-6pt] \a{10}&\b{4}&\c{0{,}4}\\ \a{100}&\b{25}&\c{0{,}4}\\ \a{1\,000}&\b{168}&\c{0{,}17}\\ \a{10\,000}&\b{1\,229}&\c{0{,}12}\\ \a{100\,000}&\b{9\,592}&\c{0{,}096}\\ \a{1\,000\,000}&\b{78\,498}&\c{0{,}078}\\ \a{10\,000\,000}&\b{664\,579}&\c{0{,}066}\\ \a{100\,000\,000}&\b{5\,761\,455}&\c{0{,}057}\\ \a{1\,000\,000\,000}&\b{50\,847\,478}&\c{0{,}051}\\[6pt]\hline \end{array} $$

Доказано, что с возрастанием $n$‍‍ отношение $\dfrac{\pi(n)}n$‍‍ приближается к нулю. Впервые этот факт доказал Леонард Эйлер — величайший математик XVIII века. В дальнейшем великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев уточнил результат Эйлера, доказав более общую теорему (см. «Квант» № 5 за 1971 год, стр. 1⁠—⁠3‍), но об этом мы уже рассказывать не будем.