Изображения страниц
Текст статьи Шлейфер Ф. Г. Разные задачи // Квант. — 1973. — № 4. — С. 63.
- Пусть
$xy=1971^{1972}$, где$x$ и$y$ — натуральные числа. Доказать, что$x+y$ не делится на 1972. - Для каких
$n$ число$63^n-5^n$ делится на 1972? - Дана арифметическая прогрессия
$a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, все члены которой — натуральные числа. Известно, что$a_{15}^{1972}$ — член этой арифметической прогрессии. Доказать, что тогда и$a_{200}^{1972}$ — также член этой прогрессии. - Доказать равенство $$ \dfrac1{658}+\dfrac1{659}+\ldots+\dfrac1{1972}=1+\dfrac2{2\cdot3\cdot4}+\dfrac2{5\cdot6\cdot7}+\dfrac2{8\cdot9\cdot10}+\ldots+\dfrac2{1970\cdot1971\cdot1972}. $$
Ответы, указания, решения
$x$ и$y$ нечётны, поэтому $$ (1971^{1972}+1)+(x+y)=(xy+1)+(x+y)=(x+1)(y+1) $$ делится на 4. Показать, что$1971^{1972}+1$ не делится на 4, тогда и$x+y$ не делится на 4 и тем более на 1972.- При чётных
$n$. - Доказать, что
$a_{200}^{1972}-a_{200}$ делится на$d$, представив$a_{200}$ в виде$a_{15}+185d$. - Воспользоваться равенством $$ \dfrac2{(3k-1)\cdot3k\cdot(3k+1)}=\dfrac1{3k-1}+\left(\dfrac1{3k}-\dfrac1k\right)+\dfrac1{3k+1}. $$