Розентуллер В. М.

Признаки делимостиРозентуллер В. М. Признаки делимости // Квант. — 1973. — № 4. — С. 11.‍‍

На 61. Зачеркнём последнюю цифру данного числа и отнимем от полученного числа ушестерённую вычеркнутую цифру. Проделаем эту операцию несколько раз, при этом мы будем получать всё меньшие числа. Если на некотором этапе получится нуль, то исходное число делится на 61, а если не получится, то не делится.

Пример. Делится ли на 61 число $7\,528\,864$‍?‍ $$ \colsep{0pt}{\begin{array}{rll} 752886&{}-6\cdot4&{}=752862\\ 75286&{}-6\cdot2&{}=75274\\ 7527&{}-6\cdot4&{}=7503\\ 750&{}-6\cdot3&{}=732\\ 73&{}-6\cdot2&{}=61\\ 6&{}-6\cdot1&{}=0. \end{array}} $$ Ответ: делится.

На 59. Зачеркнём последнюю цифру данного числа и прибавим к полученному числу ушестерённую вычеркнутую цифру. Проделаем эту операцию несколько раз, опять числа будут последовательно уменьшаться. Но теперь, если на некотором этапе получится 59, то исходное число делится на 59, а если не получится, то не делится.

Пример. Делится ли на 59 число $728\,355$‍?‍ $$ \colsep{0pt}{\begin{array}{rll} 72835&{}+6\cdot5&{}=72865\\ 7286&{}+6\cdot5&{}=7316\\ 731&{}+6\cdot6&{}=767\\ 76&{}+6\cdot7&{}=118\\ 11&{}+6\cdot8&{}=59. \end{array}} $$ Ответ: делится.

Попробуйте доказать эти признаки делимости и обобщить их на другие простые двузначные (а может и многозначные) числа.