Подольный Г. И.

ЗадачаПодольный Г. И. Задача // Квант. — 1973. — № 4. — С. 45.‍‍

Пусть в урнах лежат соответственно $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ и $d$‍‍ шаров. Тогда проигрышными для начинающего являются те и только те положения, для которых суммы всех цифр, отвечающих одному разряду в записи чисел $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ и $d$‍‍ в двоичной системе счисления, для всех разрядов кратны трём.

Рассмотренную игру можно обобщить на случай, когда урн $n$‍,‍ а шары можно брать не более, чем из $k$‍‍ урн ($k\le n$‍).‍ В этом случае проигрышными положениями будут те, в которых суммы всех цифр, отвечающих одному разряду в двоичной записи количеств шаров в данных урнах, делятся на $k+1$‍.‍ При $k=1$‍‍ получим игру «ним» (см. статью И. М. Яглома «Две игры со спичками»,‍ «Квант» № 2, 1971).