Лебедев В. П.

Некоторые задачи на прогрессииЛебедев В. П. Некоторые задачи на прогрессии // Квант. — 1973. — № 4. — С. 57⁠—⁠59.‍‍

В этой статье приведены характерные теоремы и разобраны задачи на прогрессии, предлагаемые на вступительных экзаменах в вузы.

Два основных свойства прогрессий

I. В арифметической прогрессии каждый её член (кроме первого и последнего), умноженный на два, равен сумме рядом стоящих, т. е. $$ 2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}. $$

Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел каждый её член (кроме первого и последнего), умноженный на два, равен сумме рядом стоящих, то эта последовательность есть арифметическая прогрессия.

Доказательство. По определению арифметической прогрессии $a_k=a_{k-1}+d$‍‍ и $a_k=a_{k+1}-d,$‍‍ складывая эти выражения, получим $2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$‍.‍ Обратно, пусть $2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$‍‍ тогда $a_{k+1}-a_k=a_k-a_{k-1}$‍.‍

Подставляя в последнее равенство $k=2$‍,‍ 3, $\ldots$‍‍ и обозначая $a_2-a_1$‍‍ через $d$‍,‍ получаем $$ d=a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=\ldots=a_{k+1}-a_k={\ldots}. $$

По определению это и означает, что $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍‍ — арифметическая прогрессия.

II. В геометрической прогрессии квадрат любого её члена (кроме первого и последнего) равен произведению его соседних членов, т. е. $$ b_k^2=b_{k-1}b_{k+1}. $$

Обратно, если в последовательности чисел квадрат каждого из них (кроме первого и последнего) равен произведению рядом стоящих, то эта последовательность есть геометрическая прогрессия.

Доказательства этих утверждений проведите самостоятельно.

Задачи и их решения

Задача 1. Найти арифметическую прогрессию, в которой сумма первых $n$‍‍ членов равна $n^2$‍‍.

Решение. Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, получим, что при любом $n$‍‍ должно выполняться равенство $$ S_n={\left[\dfrac{2a_1+d(n-1)}2\right]}n=n^2. $$

Отсюда $$ d=\dfrac{2(n-a_1)}{n-1}. $$

Это выражение не будет зависеть от $n$‍‍ только при $a_1=1$‍.‍ Значит, в искомой прогрессии $a_1=1$‍,‍ $d=2$‍‍ и прогрессия имеет вид 1, 3, 5, 7, $\ldots$‍.‍

Этот же результат можно получить иначе: $$ a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1. $$

Задача 2. Могут ли числа 1, $\sqrt3$‍,‍ 3 быть членами одной арифметической прогрессии?

Решение. Допустим, что эти числа составляют арифметическую прогрессию, причём $1=a_m$‍,‍ $\sqrt3=a_n$‍‍ и $3=a_p$‍.‍ Тогда $$ \begin{aligned} 1&=a_1+(m-1)d,\\ \sqrt3&=a_1+(n-1)d,\\ 3&=a_1+(p-1)d. \end{aligned} $$

Отсюда $$ \begin{gather*} a_1=1-(m-1)d=\sqrt3-(n-1)d=3-(p-1)d,\\ \sqrt3=1+(n-m)d,\quad3=1+(p-m)d. \end{gather*} $$

Решая последние равенства относительно $d$‍,‍ получим $$ \dfrac{n-m}{p-m}=\dfrac{\sqrt3-1}2, $$ что невозможно, так как слева стоит число рациональное, справа — иррациональное,

Задача 3. При каком условии три числа $a,$‍‍ $b$‍‍ и $c$‍‍ являются членами одной арифметической прогрессии?

Решение. Пусть $\{a_i\}$‍‍ — искомая прогрессия, причём $a=a_m$‍,‍ $b=a_k$‍‍ и $c=a_p$‍.‍ Тогда $a=a_1+d(m-1)$‍,‍ $b=a_1+d(k-1)$‍‍ и $c=a_1+d(p-1)$‍.‍ Исключим из этих равенств $a_1$‍:‍ $$ \begin{gather*} a-b=d(m-k),\\ b-c=d(k-p). \end{gather*} $$ Разделив почленно эти равенства, получим $$ \dfrac{a-b}{b-c}=\dfrac{m-k}{k-p}. $$

Поскольку числа $m$‍,‍ $k$‍‍ и $p$‍‍ целые, то $\dfrac{a-b}{b-c}$‍‍ должно быть рациональным числом.

Легко проверить, что если $\dfrac{a-b}{b-c}=\dfrac st$‍,‍ где $s$‍‍ и $t$‍‍ — целые, то можно подобрать арифметическую прогрессию с членами $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ (докажите).

Задача 4. Докажите, что между каждыми двумя последовательными членами геометрической прогрессии с положительными членами можно вставить по $k$‍‍ чисел так, что вся последовательность составит геометрическую прогрессию.

Решение. Обозначим члены прогрессии через $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $n$‍,‍ $\ldots$‍.‍ Определим знаменатель искомой прогрессии $q$‍‍ по первому её члену $a$‍‍ и $(k+2)$‍‍-му $b$‍‍ ($k$‍‍ членов надо вставить): $$ b=aq^{k+1}, $$ откуда $q=\!\sqrt[\scriptstyle k+1~]{\dfrac ba}$‍.‍ Последовательность будет иметь вид $$ a,~a\sqrt[\scriptstyle k+1~]{\dfrac ba},~a\sqrt[\scriptstyle k+1~]{\left(\dfrac ba\right)^2},~{\ldots},~b. $$

Между числами $b$‍‍ и $c$‍‍ вставляются тоже $k$‍‍ членов так, что образуется геометрическая прогрессия со знаменателем $\!\sqrt[\scriptstyle k+1~]{\dfrac cb}$‍‍ и т. д. По условию задачи $$ \dfrac ba=\dfrac cb, $$ значит, вся последовательность составит геометрическую прогрессию со знаменателем $$ q=\!\sqrt[\scriptstyle k+1~]{\dfrac ba}=\!\sqrt[\scriptstyle k+1~]{\dfrac cb}={\ldots}. $$

Задача 5. Найти знаменатель геометрической прогрессии, в которой каждый член, начиная со второго, равён разности двух соседних (следующего и предыдущего).

Решение. Пусть прогрессия имеет вид $b_1$‍,‍ $qb_1$‍,‍ $q^2b_1$‍,‍ $\ldots$‍.‍

Из равенства $$ q^{n+2}b_1-q^nb_1=q^{n+1}b_1 $$ находим $$ q^2-q-1=0, $$ откуда $$ q=\dfrac{1\pm\sqrt5}2. $$

Задача 6. Найти условия, при которых квадраты трёх последовательных членов арифметической прогрессии являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Решение. Пусть $a$‍,‍ $a+d$‍,‍ $a+2d$‍‍ — три последовательных члена арифметической прогрессии. Если квадраты этих чисел составляют геометрическую прогрессию, то $$ (a+d)^4=a^2(a+2d)^2, $$ откуда $$ (a+d)^2=\pm a(a+2d). $$

Если $(a+d)^2=a(a+2d)$‍,‍ то $d=0$‍.‍

Если $(a+d)^2=-a(a+2d)$‍,‍ то $d=a(-2\pm\sqrt2)$‍.‍

Итак, либо $d=0$‍;‍ либо $d=a(-2\pm\sqrt2)$‍.‍

Задача 7. Могут ли цифры трёхзначного или четырёхзначного простого числа образовывать арифметическую прогрессию с положительной разностью? Если могут, то найти все такие числа.

Решение. Предположим, что цифры числа образуют арифметическую прогрессию.

Для трёхзначного числа сумма цифр $x$‍,‍ $x+d$‍,‍ $x+2d$‍‍ равна $S=x+(x+d)+(x+2d)=3x+3d$‍‍ и делится на 3, т. е. число, образованное этими цифрами, делится на 3 и не может быть простым.

Для четырёхзначного числа сумма цифр $x$‍,‍ $x+d$‍,‍ $x+2d$‍,‍ $x+3d$‍‍ равна $$ x+x+d+x+2d+x+3d=2(2x+3d). $$

$x$‍‍ не может быть равно 3, так как тогда получим число, делящееся на 3. Поскольку $x+3d$‍‍ — цифра числа, то $x+3d\le9$‍‍ и $d$‍‍ может быть равно 2 или 1.

Пусть $d=2$‍.‍ Тогда $x\le3$‍;‍ $x=3$‍‍ не подходит; $x=2$‍‍ тоже не подходит, так как получится чётное число, при $x=1$‍‍ получим составное число 1357.

Пусть $d=1$‍.‍ Рассматривая числа 1234, 2345, $\ldots$‍,‍ 6789, находим среди них одно простое число 4567.

Упражнения

1. Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 26. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 6 и 3, то получим три числа, образующих арифметическую прогрессию. Найти исходные числа.
2. Доказать, что в арифметической прогрессии между каждыми двумя последовательными членами можно вставить по $k$‍‍ чисел таких, что вся последовательность составит арифметическую прогрессию.
3. Могут ли числа $\sqrt3$‍,‍ 2 и $\sqrt8$‍‍ быть членами арифметической прогрессии?
4. Найти сумму первых $n$‍‍ членов последовательности $$ 7,~77,~777,~{\ldots}. $$
5. Вычислить сумму $$ 1^2-2^2+3^2-4^2+\ldots+(-1)^{m-1}m^2. $$
6. При каких $x$‍‍ числа $\lg2$‍,‍ $\lg(2^x-1)$‍‍ и $\lg(2^x+3)$‍,‍ взятые в указанном порядке, составляют арифметическую прогрессию?