Текст статьи Колмогоров А. Н. О профессии математика // Квант. — 1973. — № 4. — С. 12—18.
Ниже мы публикуем выдержки из широко известной брошюры А. Н. Колмогорова «О профессии математика».
Публикацию подготовили М. Смолянский и Т. Киселёва.
1. Значение математических методов в таких науках, как механика, физика или астрономия, хорошо известно. Также всем известно и то, что математика необходима в практической работе инженеров и техников. Элементарные знания по геометрии, умение пользоваться буквенными формулами необходимы почти каждому мастеру или квалифицированному рабочему. Но менее ясным для многих является вопрос о том, что значит иметь специальность математика и заниматься самой математикой в качестве основной профессии.
Очень многие представляют себе дело так, что в учебниках и математических справочниках собрано уже вполне достаточно формул и правил для решения всевозможных встречающихся на практике математических задач. Даже очень образованные люди часто спрашивают с недоумением: разве в математике можно сделать что-либо новое?
Поэтому и математика иногда представляют себе как скучного человека, выучившего большое число формул и теорем, и считают, что его задача состоит в том, чтобы заученные, готовые знания передать другим.
Во всём этом верно только то, что математические сведения, сообщаемые в средней школе и на первых ступенях изучения математики в высшей школе, добыты человечеством давно. Но даже и эти простейшие математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно. От преподавателя математики и в высшей и в средней школе требуется не только твёрдое знание преподаваемой им науки. Хорошо преподавать математику может только человек, который сам ею увлечён и воспринимает её как живую развивающуюся науку. Вероятно, многие учащиеся средней школы знают, насколько увлекательной и, благодаря этому, лёгкой и доступной становится математика у таких преподавателей.
Ещё в большей степени самостоятельность и способность по-новому подходить к математической формулировке задачи необходимы тому, кто применяет математику в решении технических проблем. Это относится к работе каждого инженера. Но так как требующиеся при этом математические знания и способности имеются не у всех, то большинство наших научно-исследовательских технических институтов и даже некоторые крупные заводы стали усиленно привлекать специалистов-математиков для работы вместе с инженерами над техническими проблемами.
Ошибочным является представление о математике как о науке законченной, раз навсегда построенной в своих теоретических основах. В действительности математика обогащается совершенно новыми теориями и перестраивается в ответ на новые запросы механики (нелинейные колебания, механика сверхзвуковых скоростей), физики (математические методы квантовой физики) и других смежных наук. Кроме того, и в недрах самой математики после накопления большого числа разрозненных специальных задач, решённых частными приёмами, создаются новые общие теории, освещающие эти задачи с иных точек зрения и позволяющие решать их однообразными методами. Например, методы возникающего на наших глазах «функционального анализа» относятся к математическому анализу (который был создан ещё в XVII—XVIII вв. и преподаётся во всех высших технических заведениях) примерно так, как относится алгебра к арифметике. Так называемые «операторные методы» функционального анализа уже нашли широкое применение в современной физике и технике.
В настоящее время особенно не хватает математиков, способных руководить большими вычислительными работами.
Имеется много задач, в которых для получения числового результата требуются вычисления, превосходящие возможности одного человека. Расчёт упругих напряжений в плотинах, фильтрации воды под плотинами, сопротивлений, испытываемых самолётами при полёте, или траекторий снарядов — вот типичные примеры таких задач. Уже давно при научных институтах, проектных организациях и заводах, нуждающихся в решении подобных задач, стали возникать вычислительные бюро со многими десятками инженеров-вычислителей, оборудованные арифмометрами и вычислительными автоматами, требующими для выполнения арифметических действий над многозначными числами лишь набора их при помощи клавиш и нажатия соответствующей кнопки
Конструирование и обслуживание современных вычислительных машин превратились в широкие инженерные специальности, которые студенты получают на соответствующих отделениях технических вузов. Для работы в вычислительных бюро старого типа или для введения данных в современную вычислительную машину достаточно общего среднего образования и полугодичного производственного обучения. Для того чтобы довести решение математических задач до этапа, после которого они могут быть переданы в вычислительное бюро или на вычислительную машину для получения численных результатов, необходимо много людей с глубокими математическими знаниями.
Теория «вычислительных методов» математики развилась сейчас в большую науку, и потребность в специалистах, владеющих этими методами, с развитием «машинной математики» возрастает. Перед нами возникают своеобразные задачи «программирования», т. е. приведения процесса вычислений к виду, допускающему полную автоматизацию решения задач определённого типа на машинах.
2. Как и всякая наука, математика требует прежде всего твёрдого знания того, что по исследуемому вопросу уже сделано. Но не следует думать, что в математике труднее, чем в других науках, добраться до возможности сделать что-либо новое. Опыт говорит скорее о другом: способные математики, как правило, начинают самостоятельные научные исследования в очень молодом возрасте. Если математические открытия, сделанные в
Конечно, широта постановки задач приходит обычно несколько позднее, но при решении отчётливо поставленных трудных конкретных задач совсем молодые люди часто с успехом соревнуются со сложившимися известными учёными.
В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное неравенство и т. п. Нужно только применить надлежащим образом эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной. Поэтому вовсе не существует непреодолимой стены между самыми новыми и трудными оригинальными математическими исследованиями и решением задач, доступных способному и достаточно упорному начинающему математику. Интересно с этой точки зрения прочитать некоторые главы из «Математической автобиографии» знаменитого советского алгебраиста Н. Г. Чеботарёва, где автор излагает историю своих научных поисков, начиная с первых опытов гимназиста до крупнейших открытий в алгебре.
Сейчас, когда сотрудничество между математиками и представителями смежных специальностей развивается особенно широко, можно определённо сказать, что наиболее успешным оно оказывается при условии, если математик не ограничивается ролью исполнителя сделанного ему «заказа», а старается проникнуть в существо естественно-научных и технических проблем. Специалисты по математической и теоретической физике, теоретической механике или теоретической геофизике могут готовиться двумя путями: начать своё образование с изучения физики, механики или геофизики, или же сначала изучать математику на математических отделениях университетов, а потом основательно входить в ту или иную область применения математики.
Существует даже такая точка зрения, что второй путь даёт лучшие результаты, т. е. что изучить на солидной математической основе аэромеханику, газовую динамику, сейсмологию или динамическую метеорологию легче, чем специалисту в какой-либо из этих областей восполнить недостаток математической подготовки. Такое мнение можно считать слишком крайним и заметить, например, что хорошее владение экспериментальной техникой встречается у математиков, перешедших на работу в какой-либо смежной области, лишь как редкое исключение. Но нельзя не признать, что из математиков по образованию вышло много крупнейших наших специалистов в смежных науках.
Трудно отделить математику от механики и сейсмологии в работах академиков М. А. Лаврентьева и С. Л. Соболева. В первую очередь как механики известны академики М. В. Келдыш, Л. И. Седов и
Можно было бы указать много связанных с именами математиков конкретных достижений в естествознании и технике, которые оказались весьма существенными с непосредственно практической стороны.
3. Необходимость специальных способностей для изучения и понимания математики часто преувеличивают. Впечатление исключительной трудности математики иногда создаётся её плохим, чрезмерно формальным изложением на уроке. Обычных человеческих способностей вполне достаточно, чтобы при хорошем руководстве или по хорошим книгам не только усвоить математику в объёме средней школы, но и разобраться, например, в началах дифференциального и интегрального исчислений. Тем не менее, когда дело идёт о выборе математики в качестве основной специальности, вполне естественно желание проверить «математическую одарённость». Ведь несомненно, что разные люди воспринимают математические рассуждения, решают математические задачи или — на более высокой ступени — приходят к новым математическим открытиям с разной скоростью, лёгкостью и успехом. И, конечно, следует стремиться к тому, чтобы из миллионов нашей молодёжи специалистами-математиками становились именно те, кто в этой области будут работать наиболее успешно.
Поэтому содействие выдвижению математически одарённой молодёжи является одной из важных задач школьных математических кружков, математических олимпиад и других мероприятий по пропаганде математических знаний и распространению интереса к самостоятельным занятиям математикой. Не следует спешить с чрезмерно ранним созданием для отдельных молодых людей репутаций «математических талантов». Но вовремя подтолкнуть способных математиков в сторону выбора математики в качестве своей дальнейшей работы советом или премированием на олимпиаде необходимо.
В чём же заключаются эти способности? Следует прежде всего подчеркнуть, что успех в математике меньше всего основан на механическом запоминании большого числа фактов, отдельных формул и т. п. Хорошая память в математике, как и во всяком другом деле, является полезной, но никакой особенной, выдающейся памятью большинство крупных учёных-математиков не обладало.
В частности, фокусники, запоминающие длинные ряды многозначных чисел и складывающие или перемножающие их в уме, совсем не могут служить примером людей с хорошими математическими способностями в серьёзном смысле слова.
Способность производить алгебраические вычисления, т. е. умелое преобразование сложных буквенных выражений, нахождение удачных путей для решения уравнений, не подходящих под стандартные правила и тому подобное, уже ближе соприкасается с теми способностями, которые часто требуются от математика в серьёзной научной работе.
Принято даже думать, что исключительно большое развитие таких вычислительных или, как иногда говорят, «алгоритмических» способностей является характерным для одного из нескольких основных типов математической одарённости. Такого рода способности требуются, чтобы преодолеть трудности школьной алгебры и прежде всего — в разложении алгебраических выражений на множители.
Далее основной областью применения этого рода способностей становится решение уравнений. Однако везде, где это возможно, математики стремятся сделать изучаемые ими проблемы геометрически наглядными. В средней школе достаточно ясно видно, насколько полезны графики для изучения свойств функций. Поэтому читатель не удивится утверждению, что геометрическое воображение, или, как говорят, «геометрическая интуиция», играет большую роль при исследовательской работе почти во всех разделах математики, даже самых отвлечённых.
В школе обычно с большим трудом даётся наглядное представление пространственных фигур. Надо, например, быть уже очень хорошим математиком, чтобы, закрыв глаза, без чертежа, ясно представить себе, какой вид имеет пересечение поверхности куба с плоскостью, проходящей через центр куба и перпендикулярной одной из его диагоналей. Искусство последовательного, правильно расчленённого логического рассуждения является также существенной стороной математических способностей.
В школе для развития этой способности служит систематический курс геометрии с её определениями, теоремами и доказательствами. Но часто наибольшую трудность для школьников в отношении понимания точного смысла сложной логической конструкции представляет принцип математической индукции, изучаемой в конце курса алгебры. Многие не в состоянии ясно увидеть реальное содержание этого принципа за нагромождением слов «если» и «то».
Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции является хорошим критерием логической зрелости, которая совершенно необходима в математике.
Способность последовательно, логически рассуждать в незнакомой обстановке приобретается с трудом. На математических школьных олимпиадах самые неожиданные трудности возникают именно при решении задач, в которых не предполагается никаких предварительных знаний из школьного курса, но требуется правильно уловить смысл вопроса и рассуждать последовательно. Уже такой шуточный вопрос затрудняет многих десятиклассников; в хвойном лесу 800 000 елей и ни на одной из них не более 500 000 игл; доказать, что по крайней мере у двух елей число игл точно одинаково.
Различные стороны математических способностей встречаются в разных комбинациях. Уже исключительное развитие одной из них иногда позволяет приходить к неожиданным и замечательным открытиям, хотя чрезмерная односторонность, конечно, опасна. Само собой разумеется, что никакие способности не помогут без увлечения своим делом, без систематической повседневной работы.
Математические способности являются обычно довольно ранними и требуют непрерывного упражнения. Пробел в знаниях, возникающий в результате полного отрыва от математики в течение нескольких лет после средней школы, часто оказывается трудновосполнимым. Работа чертёжника, лаборанта, обращение с машиностроительными деталями, сборка радиоаппаратуры и тому подобное, по-видимому, содержат в себе много элементов, родственных работе математика, например, в смысле развития пространственного воображения и функционального мышления. Соприкосновение на работе с современной техникой может побудить более сознательный интерес к приложениям математики. Но мы очень советуем молодым людям, проработавшим после школы несколько лет на производстве и намеревающимся поступить на математическое отделение университета, заранее заниматься математикой и не ограничиваться только подготовкой к вступительным экзаменам (для чего при всех университетах имеются специальные подготовительные курсы), но и участвовать в математических кружках и олимпиадах и самостоятельно изучать математическую литературу. Иначе никакие льготы для «производственников» при поступлении в вузы не помогут им во время работы в университете не отстать от своих товарищей, пришедших со свежими знаниями и увлечениями прямо из школы.
4. Преподавание в школе во время обязательных классных занятий рассчитано в основном на твёрдое усвоение математики всеми учащимися. Попробовать свои силы в решении более трудных задач, ближе познакомиться с тем, как наука справляется с решением более сложных математических проблем, и с тем, как математика применяется в естествознании и в технике, можно в математическом кружке. Такие кружки ведут преподаватели математики во многих школах. Силами университетов и педагогических институтов во многих городах организованы межшкольные математические кружки и систематическое чтение лекций для школьников по отдельным вопросам математики или её истории.
Естественно, что все эти начинания, как и математические олимпиады, широко открыты и для работающей молодёжи, интересующейся математикой.
Математические олимпиады, на которых предлагаются трудные задачи и победителям выдаются премии и похвальные отзывы, удаются там, где хорошо поставлена работа в кружках. Олимпиады должны проводиться для завершения работы, ведущейся в течение года, а не как изолированное праздничное мероприятие.
Задачи, предлагаемые в кружках и на олимпиадах, иногда носят искусственный и даже шуточный характер. В этом нет беды, если задачи подобраны так, что для их решения требуется серьёзная работа мысли, похожая на ту, которая требуется от взрослого, самостоятельно работающего математика.
В докладах, читаемых в кружках их участниками, и в лекциях, читаемых учителями и преподавателями высшей школы, широко освещаются основные пути развития математической науки, значение математики для естествознания и техники. Конечно, очень хорошо, если удаётся в задачах, предлагаемых в кружках, дать принципиально важный или убедительный своей полезностью материал, но было бы напрасно требовать, чтобы таким условиям была подчинена вся та большая «тренировочная» работа молодого математика, которая достигается решением задач.
Независимо от участия в кружках можно заняться самостоятельным решением более трудных задач. Имеется несколько интересных сборников задач для любителей математики. Некоторые из них написаны так, что читатель, решая последовательно связанные друг с другом задачи, может живо представить себе пути развития довольно сложных математических теорий.
Занятия в кружках, слушание лекций и чтение дополнительной литературы не должны, конечно, отвлекать учащихся школ или подготовительных курсов от более элементарной обязательной учебной работы.
Для решения экзаменационных задач не требуется особой изобретательности. В большинстве случаев задачи решаются последовательным применением изучаемых в школе правил и приёмов. Если же их решение и требует некоторой самостоятельности мысли, то дело ограничивается необходимостью систематически исследовать поставленный вопрос в самом естественном направлении.
5. Современная математическая теория даёт средства, в принципе достаточные для решения самых разнообразных задач. Уже на первом курсе университета студенты знакомятся с методами нахождения с любой заданной точностью корней алгебраических уравнений какой угодно высокой степени. При изучении теории дифференциальных уравнений обнаруживается, что существуют общие методы нахождения их решений, хотя и приближённых, но тоже обладающих любой наперёд заданной точностью.
Однако при практическом решении таких задач с целью получить определённый числовой результат обнаруживается, что обладать принципиальной схемой решения ещё недостаточно. Например, при расчёте траектории артиллерийского снаряда траектория разбивается на много десятков коротких отрезков, которые рассчитываются последовательно. Для расчёта каждого следующего участка приходится проделать несколько десятков арифметических действий. Расчёт одной траектории даже у вычислителя, пользующегося вспомогательными таблицами и арифмометром, занимает много часов, а иногда и несколько дней.
Кораблестроительные расчёты или расчёты, связанные с постройкой плотин больших электростанций, задают месяцы и даже годы работы специальных вычислительных бюро. Такое положение естественно привело к необходимости усовершенствовать машинную вычислительную технику. Прежде всего, наряду с обычными арифмометрами, получили широкое распространение «малые вычислительные машины», автоматически выполняющие четыре арифметических действия над многозначными числами. Перемножение двух восьмизначных чисел занимает на такой машине сорок секунд.
При использовании этих машин вычислитель вынужден ещё записывать результаты каждого действия, потом вновь вводить их в машину. За последние двадцать лет широко развернулась работа по созданию «больших вычислительных машин», которые без вмешательства человека выполняют длинные ряды арифметических действий.
Программа работы такой машины задаётся перфолентой. Машина сама выполняет в указанном порядке арифметические действия, фиксирует промежуточные результаты, использует их в дальнейших вычислениях и, наконец, выдаёт окончательный результат, пробитый на ленте или карточках или даже отпечатанный.
Сначала в подобных сложных вычислительных машинах использовались механические элементы типа колёсиков обычного арифмометра и электромагнитные реле, замыкающие и размыкающие ток, приводящий в движение элементы машины. Полный переворот в вычислительной технике произошёл около десяти лет назад, когда было показано, что возможно обойтись совсем без механического перемещения элементов машины, заменив их электронными лампами (диодами, триодами и т. д.) и их комбинациями (триггерами и т. п.). Благодаря этому стало возможным производить, например, в одну секунду по несколько тысяч операций умножения многозначных чисел. Ещё несколько позднее электронные лампы стали заменяться полупроводниковыми элементами, имеющими значительно меньшие размеры; для «запоминания» большого числа промежуточных данных (до нескольких сотен тысяч) были введены магнитные барабаны и т. д. Стало возможным делать вычисления, требующие, например, 20 миллионов операций для предсказания по данным метеорологических станций погоды на следующий день, вычислять траекторию снаряда за время, меньшее времени его полёта, и т. д.
Большие вычислительные машины иногда специально строятся для какой-либо одной цели (например, для предсказания погоды), но чаще имеют универсальный характер, т. е. предназначаются для решения самых разнообразных задач. В этом случае они размещаются в «вычислительных центрах», обслуживающих различные научные и технические учреждения, не имеющие собственных больших вычислительных машин. Часто вычислительные машины подключаются к приборам, управляющим автоматически тем или иным процессом.
Если управление быстро протекающим процессом требует сложных вычислений, основанных на данных, получаемых в ходе этого процесса, то без скоростных вычислительных машин подобная задача была бы вообще неосуществима. Сфера применения таких управляющих машин быстро растёт.
Управляющие машины во многом походят на управляющие механизмы, возникшие естественным образом в ходе эволюции живых существ (нервная система, механизм сохранения и передачи по наследству признаков каждого вида животных и растений). Общие закономерности устройства управляющих систем изучаются недавно возникшими науками: теорией информации и кибернетикой, которые в значительной своей части являются математическими и предъявляют к чистой математике много новых запросов.