Изображения страниц
Текст статьи Коган Б. Ю. Вероятностные задачи // Квант. — 1973. — № 4. — С. 59.
- В первом ящике 50 белых шаров, а во втором 10 белых и 10 чёрных. Некто берёт наудачу один шар из любого ящика. Какова вероятность, что взятый им шар будет белым? Решая эту задачу, учащийся сказал: «Так как белых шаров 60, а чёрных 10, то искомая вероятность равна
$\dfrac67$ ». Верно ли это? - Задача Паскаля.) Два одинаково искусных игрока играют в игру, не допускающую ничейного исхода. Они сделали равные ставки и условились, что тот, кто раньше наберёт 10 выигранных партий, получит все деньги. Игра была прервана при счёте
$9:8$ и не могла быть продолжена. Как должны они разделить деньги? - Про некоторую семью известно, что там двое детей, причём один из них — мальчик. Что более вероятно: что второй ребёнок является мальчиком или девочкой?
Имеется неограниченное число шаров: один — с номером 1, другой — с номером 2, третий — с номером 3 и т. д. Игроки
$A$ и$B$ берут наудачу по одному шару и смотрят их номера. Выигравшим считается тот, кому достался шар с меньшим номером.Посмотрим, каковы шансы на выигрыш у игрока
$A$. Предположим, что он вытащил шар с номером$K$. Так как номеров меньших, чем$k$, имеется конечное число, а номеров бо́льших, чем$k$, бесконечно много, то выигрыш игрока$A$ значительно вероятней его проигрыша. Но так как то же самое рассуждение можно провести и относительно игрока$B$, то приходим к выводу, что каждый из игроков имеет значительные преимущества перед другим. Почему так получилось?
Ответы, указания, решения
- Неверно. Вообразим, что этот опыт проводился очень много раз. Тогда в половине случаев шар будет взят из первого ящика, т. е. будет белым. В другой же половине случаев шар будет взят из второго ящика, причём в половине из этой половины случаев он будет белым. Следовательно, белый шар будет вытаскиваться в
$\dfrac34$ случаев, т. е. искомая вероятность равна$\dfrac34$. - Вообразим, что будет сыграна ещё одна партия. Если первый игрок её выиграет, то возьмёт все деньги (так как счёт будет
$10:8$), а если проиграет, то счёт будет$9:9$, после чего шансы игроков сравняются. Значит, половина денег принадлежит первому игроку, а вторую половину возьмёт он или его противник в зависимости от исхода предполагаемой партии. Следовательно, вторую половину денег надо разделить пополам, т. е. дать первому игроку$\dfrac34$ всех денег, а второму —$\dfrac14$. Пусть в семье двое детей. Перечисляя их, будем сначала указывать старшего ребёнка, а затем младшего (мы исключаем семьи с близнецами). Возможны четыре равновероятных случая: $$ \textit{ММ},~~\textit{МД},~~\textit{ДМ},~~\textit{ДД}. $$
Следовательно, в семьях, где двое детей, среди которых есть мальчик, возможны три одинаково вероятных случая: $$ \textit{ММ},~~\textit{МД},~~\textit{ДМ}. $$
Мы видим, что в двух из этих случаев второй ребёнок является девочкой, а в одном — мальчиком. Значит, вдвое более вероятно, что второй ребёнок является девочкой.
- Потому, что число шаров бесконечно. В данном случае нельзя ставить вопрос о вероятности выигрыша
$A$ или$B$.