Текст статьиХренов Л. С. Задача Потенота // Квант. — 1973. — № 4. — С. 30—34.
Если на плоскости даны три точки $A$, $B$ и $C$ (т. е. известно взаимное расположение этих точек), то для определения положения четвёртой точки $M$ обычно достаточно знать два угла: $\angle AMB=\alpha$ и $\angle BMC=\beta$. Такая задача известна под названием задачи Потенота. Она возникает, например, при определении местоположения корабля, с которого видны три маяка, координаты которых известны, а также во многих других случаях.
Геометрическое решение задачи Потенота
Задача Потенота сводится к построению дуги $AB$ (рис. 1), из любой точки $M$ которой отрезок $AB$ виден под углом $\alpha$, и дуги $BC$, из точек которой отрезок $BC$ виден под углом $\beta$. Для этого достаточно от прямой $AB$ отложить угол $\alpha$ и к полученной прямой $AV$ восставить перпендикуляр $AP$, а к отрезку $AB$ восставить перпендикуляр в его середине. Точка $O_1$ пересечения этих перпендикуляров будет центром окружности, проходящей через точки $A$, $B$ и $M$, а линия $AB$ будет хордой дуги, вмещающей угол $\alpha$. Аналогично строится центр $O_2$ окружности, проходящей чрез точки $B$, $C$ и $M$ с дугой $BC$, вмещающей угол $\beta$.
Рис. 1Рис. 2
Пересечение построенных таким образом двух окружностей и определит положение точки $M$, так как у них не может быть более двух общих точек. Одной из них, согласно построению, является точка $B$, второй будет искомая точка $M$. Следовательно, задача Потенота имеет вполне определённое и единственное решение, за исключением случая, когда обе окружности сливаются в одну, проходящую через точки $A$, $B$, $C$ и $M$ (рис. 2). В этом случае искомая точка $M$ лежит на окружности, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$, и для определения положения точки $M$ надо знать ещё какие-либо расстояния.
Однако, несмотря на простоту геометрического решения задачи Потенота, на практике оно не применяется.
На практике для решения задачи Потенота применяют аналитические или графические способы с использованием мензулы, кипрегеля или алидады и буссоли.
Мензула представляет собой столик для черчения плана. Она состоит из штатива и планшета — чертёжной квадратной доски, которая укрепляется на подставке. Подставка имеет три подъёмных винта, позволяющих приводить верхнюю плоскость планшета в горизонтальное положение, при этом используется накладной уровень или уровень на алидаде (кипрегеле, см. ниже). Подставка вместе с планшетом прикрепляется к штативу при помощи станового винта. Подставки могут быть деревянными или металлическими. Центрировочная вилка служит для центрирования точки на планшете над соответствующей точкой местности: к нижнему концу вилки подвешивается отвес, верхний конец вилки находится на одной вертикали с нижним.Алидада служила для визирования с точки мензулы на точку местности. Она состоит из линейки, на которой выгравирован поперечный масштаб, и двух диоптров со щелями и волосками; на линейке алидады обычно помещается цилиндрический уровень для приведения планшета. мензулы в горизонтальное положение. Теперь вместо алидады с диоптрами используется кипрегель.Кипрегель состоит из линейки с поперечным масшбатом и уровнем, и из зрительной трубы, вращающейся на оси колонки так, что плоскость, описываемая визирной осью трубы (коллимационная), проходит через скошенный край линейки кипрегеля. На мензуле должно получаться горизонтальное положение местности, поэтому для измерения углов наклона изготовляются кипрегели с вертикальными кругами, с помощью которых углы наклона измеряются с точностью до $1'$. Две дополнительные нити (дальномерные), расположенные симметрично относительно средней оси, видны в поле зрения трубы кипрегеля. Они служат для определения расстояний на местности.Буссоль (усовершенствованный компас) применяется для ориентирования мензулы по сторонам света. Буссоль имеет вид круглой или прямоугольной коробки с градусными делениями, в центре вращается магнитная стрелка. Буссоль устроена всегда так, что линия, соединяющая деления $0^\circ$—$0^\circ$ или $0^\circ$—$180^\circ$ и проходящая через центр буссоли, параллельна внешним краям коробки.
Графическое решение задачи Потенота
При наличии трёх точек на мензульном планшете, соответствующих трём точкам на местности (т. е. при наличии, например, карты местности), можно определить положение четвёртой точки, произведя наблюдения только в ней, т. е. решить задачу Потенота.
Для графического решения задачи Потенота предложено более 100 различных способов. В их основе лежит ориентирование мензульного планшета. Пусть три точки $a$, $b$ и $c$ (рис. 3), составляющие на мензульном планшете $Q$ треугольник $abc$, соответствуют трём точкам $A$, $B$ и $C$ на местности. Планшет $Q$ ориентирован, если он расположен так, что $ab\parallel AB$, $ac\parallel AC$ и $bc\parallel BC$.
В этом случае направления, прочерченные через $a$, $b$ и $c$ при визировании на соответствующие точки местности, пересекутся в одной точке. Для доказательства построим точку $m$ как точку пересечения прямых $Aa$ и $Bb$. Подобно уменьшив $\triangle ABC$ так, чтобы $AB$ перешло в $ab$, мы получим $\triangle abc'$, но поскольку $ac\parallel AC\parallel ac'$ и $bc\parallel BC\parallel bc'$, точки $c'$ и $c$ обязаны совпасть, а прямые $Aa$, $Bb$ и $Cc$ пересекутся все в точке $m$, соответствующей на планшете точке $M$, из которой мы визируем на точки $A$, $B$, $C$.
Рис. 3Рис. 4
Если же мензульный планшет, находящийся в точке $M$, ориентирован лишь приблизительно, то те же прочерченные три направления $aA$, $bB$ и $cC$ не пересекутся в одной точке, а образуют небольшой треугольник (рис. 4), называемый треугольником погрешностей. И чем точнее произведено ориентирование мензульного планшета, находящегося в определяемой точке, тем будут меньше размеры треугольника погрешностей. Это положение и использовал И. Леман (1765—1811) при графическом решении задачи Потенота, предложив способ приближений, используемый в практике мензульной съёмки.
Способ И. Лемана. Мензулу устанавливают над искомой точкой $M$, приводят верхнюю плоскость планшета в горизонтальное положение и возможно точнее ориентируют планшет $Q$ так, чтобы линии $ab$, $bc$ и $ac$ на планшете были параллельны линиям $AB$, $BC$ и $AC$ на местности. После этого через три данные точки на планшете визируют на соответствующие точки местности и прочерчивают по ребру линейки визирного прибора (кипрегель, алидада) линии (как на рисунке 3). Если ориентирование планшета произведено точно, то три направления, прочерченные через точки $a$, $b$ и $c$ при визировании на соответствующие точки местности, пересекутся в искомой точке $m$.
Если же планшет $Q$, находящийся в точке $M$ местности, ориентирован неточно, то три прочерченных направления $aA$, $cC$ и $bB$ пересекутся на планшете не в одной точке, а образуют треугольник погрешностей. Точное положение точки $m$ зависит от расположения на местности точки $M$ относительно точек $A$, $B$ и $C$.
Рис. 5
Искомая точка $M$ относительно трёх известных $A$, $B$ и $C$ может занимать одно из следующих шести положений (рис. 5):
$M_1$ — внутри треугольника $ABC$;
$M_2$ — на одной из сторон треугольника $ABC$;
$M_3$ — между стороной треугольника $ABC$ и окружностью, проведённой через точки $A$, $B$ и $C$;
$M_4$ — на окружности, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$;
$M_5$ — за окружностью, проведённой через точки $A$, $B$ и $C$, и за стороной треугольника $ABC$;
$M_6$ — за окружностью, но внутри угла, образованного продолжением двух сторон треугольника $ABC$.
При определении (на глаз) на планшете положения искомой точки следует учитывать следующее.
Если искомая точка $m$, соответствующая точке $M$ местности, находится внутри данного треугольника $ABC$ (например, $M_1$), то и на планшете она должна находиться внутри треугольника погрешностей.
Если искомая точка расположена за одной из сторон треугольника $ABC$ (например, $M_3$) или между продолженными сторонами угла этого треугольника (например, $M_6$), то искомая точка на планшете и треугольник погрешностей будут находиться по разные стороны от средней линии визирования (из точки $M$, лежащей вне треугольника $ABC$, этот треугольник виден под углом, меньшим $180^\circ$, и тогда можно назвать направления визирования, образующие между собой наибольший угол, — крайними, а оставшееся — средним).
Если искомая точка занимает положение $M_5$, то искомая точка на планшете и треугольник погрешностей должны находиться по одну сторону от средней линии визирования.
Наметив на планшете на глаз положение искомой точки, уточняют ориентирование планшета: выбирают наиболее удалённую от $m$ точку $a$, $b$ или $c$ (пусть это будет $a$) и поворачивают планшет так, чтобы точки $m$, $a$ и $A$ были на одной прямой.
После исправления ориентирования мензульного планшета вновь визируют через намеченную точку на три точки местности $A$, $B$ и $C$ и прочерчивают направления. Если при этом все три направления пересекутся в одной точке, то назначенное положение точки будет соответствовать на планшете искомой точке; в противном случае опять получится треугольник погрешностей, но менее первого, относительно которого можно с большей точностью назначить на глаз положение искомой точки. Такие действия повторяют до тех пор, пока прочерчиваемые направления не пересекутся в одной точке.
Примечание. Получив второй треугольник погрешностей, можно соединить их одноимённые вершины прямыми; в пересечении этих прямых и будет находиться искомая точка $m$ на планшете. Полученную таким образом точку используют для нового ориентирования планшета и прочерчивания трёх направлений.
Способ А. П. Болотова. Оригинальное решение задачи Потенота, не потерявшее своего практического значения и до сих пор, было предложено А. П. Болотовым (1803—1853) (этот способ особенно близок к описанному выше геометрическому решению).
Рис. 6
При этом способе над точкой $M$ местности устанавливают мензулу с нанесёнными на её планшете точками $a$, $b$ и $c$, соответствующими на местности точкам $A$, $B$ и $C$ (рис. 6). Накрывают планшет восковкой (калькой) и на ней намечают точку $m$, расположенную примерно над искомой точкой $M$ местности. Затем через точку $m$ на восковке визируют последовательно на точки $A$, $B$ и $C$ местности и прочерчивают направления $mA$, $mB$ и $mC$. После этого восковку перемещают по мензульному планшету так, чтобы прочерченные на ней направления $mA$, $mB$ и $mC$ прошли через точки $a$, $b$ и $c$ на планшете. Если теперь, придержав восковку в таком положении, проколоть её в точке $m$, то на планшете получится истинное положение искомой точки.
Для контроля произведённых действий рекомендуется проверить ориентирование планшета по самой удалённой от него точке $A$, $B$ или $C$.
