Текст статьиБолтянский В. Г. О вращении отрезка // Квант. — 1973. — № 4. — С. 24—29.
Рис. 1
1. Ясно, что отрезок длины 1 может совершить полный оборот, всё время находясь в фигуре площади $\dfrac\pi4$, а именно в круге диаметра 1 (рис. 1). А не может ли отрезок длины 1 совершить полный оборот, двигаясь в фигуре меньшей площади? На первый взгляд это кажется маловероятным: похоже, что круг диаметра 1 является наиболее «экономной» (в смысле площади) фигурой, в которой отрезок длины 1 может совершить полный оборот. Однако это неверно!
В 1918 году А. С. Безикович доказал, что существует фигура сколь угодно малой площади, двигаясь в которой отрезок длины 1 может совершить полный оборот. Точнее говоря, если мы зададим любое положительное число$\eps$ (например, $\eps=0{,}000001$), то сможем построить фигуру площади $\eps$, внутри которой может совершить полный оборот отрезок длины 1. Безикович предложил простые геометрические идеи, с помощью которых можно доказать этот удивительный факт. Однако для того, чтобы превратить эти идеи в полное доказательство, ему пришлось провести довольно громоздкие вычисления, так что всё рассуждение в целом оказалось сложным (доказательство, похожее на доказательство Безиковича, приведено на стр. 258—263 книги И. М. Яглома и В. Г. Болтянского «Выпуклые фигуры»).
Не так давно академик И. М. Виноградов рассказал мне короткое и элегантное доказательство этой теоремы. Это доказательство он придумал сразу же после того, как Безикович рассказал ему о своей теореме, однако печатать его на стал. С любезного согласия И. М. Виноградова я приведу здесь его доказательство.
2. Прежде всего рассмотрим геометрические идеи А. С. Безиковича.
Ясно, что достаточно построить фигуру маленькой площади, внутри которой отрезок длины 1 можно повернуть на угол $60^\circ$: прикладывая тогда друг к другу три такие фигуры, получим фигуру, внутри которой можно будет повернуть отрезок на угол $180^\circ$.
Рис. 4Рис. 2Рис. 3
Поворот отрезка длины 1 на $60^\circ$ можно совершить внутри равностороннего треугольника с высотой 1 (рис. 2). Разрежем теперь этот треугольник высотой на две части и наложим эти части друг на друга. Внутри получившейся фигуры (рис. 3) можно отрезок $AB$ повернуть в положение $AC$; кроме того, отрезок $DE$, параллельный $AC$, можно повернуть в положение $DF$. Но переместить отрезок $AB$ в положение $DF$ в этой фигуре не удастся: можно повернуть отрезок в положение $AC$, а «перепрыгнуть» в положение $DE$ нельзя! Однако можно поступить так. Добавим к фигуре, изображённой на рисунке 3, отрезки $AH$ и $DH$ и сектор радиуса 1 с центром $H$, как показано на рисунке 4. В получившейся фигуре уже можно будет повернуть отрезок из положения $AB$ в положение $DF$: надо будет из положения $AC'$ сдвинуть отрезок вдоль $AH$ в положение $HK$, затем повернуть его внутри сектора в положение $HL$, а потом сдвинуть вдоль $HD$ в положение $DE$.
Что же мы получили в результате? Площадь фигуры, изображённой на рисунке 3, существенно меньше площади первоначального равностороннего треугольника (так как две половинки этого треугольника перекрываются). При переходе же от рисунка 3 к рисунку 4 мы добавляем лишь отрезки $AH$, $DH$ (они имеют нулевую площадь) и сектор с центром $H$, причём площадь этого сектора можно сделать как угодно малой (нужно лишь точку $H$ взять далеко, чтобы угол $AHD$ был маленьким).
Рис. 7Рис. 5Рис. 6
А что если разрезать равносторонний треугольник не на две, а на четыре части (рис. 5)? Тогда, производя параллельные переносы этих частей (чтобы они перекрывались), мы получим фигуру (рис. 6), в которой можно отрезок длины 1 повернуть на угол $15^\circ$, затем, «перепрыгнув» в параллельное положение, повернуть ещё на $15^\circ$, потом ещё и ещё на $15^\circ$. А так как «прыгать» нашему отрезку не разрешается, то придётся, как и на рисунке 4, добавить отрезки и секторы (рис. 7). В фигуре, изображённой на рисунке 7, отрезок длины 1, непрерывно перемещаясь, может повернуться на угол $60^\circ$. При этом сумму площадей добавленных секторов можно сделать как угодно малой (надо лишь взять точки $H_1$, $H_2$, $H_3$ достаточно далеко). В то же время площадь фигуры, изображённой на рисунке 6, значительно меньше площади исходного равностороннего треугольника, поскольку четыре части, на которые разрезан этот треугольник, многократно перекрываются.
Теперь становится понятным Общее направление доказательства: надо разрезать равносторонний треугольник на части отрезками, исходящими из вершины, и произвести параллельные переносы этих частей таким образом, чтобы фигура, покрываемая всеми этими частями, имела площадь, меньшую чём $\eps,$ где $\eps$ — данное положительное число.
3. Изложенные соображения, однако, вовсе ещё не дают доказательства. Это только направление, в котором следует его искать. Самое трудное впереди: надо придумать, как следует сдвигать части, чтобы за счёт многократных перекрытий получилась фигура достаточно малой площади. Способ сдвига частей и подсчёта площади, предложенный И. М. Виноградовым, состоит в следующем.
Возьмём произвольное натуральное число $m$ и разобьём основание равностороннего треугольника на $2^m$ равных частей. Соединив точки деления с вершиной, мы получим разбиение равностороннего треугольника на $2^m$ частей, которые условимся называть клиньями. Проведём, кроме того, прямые, параллельные основанию и разбивающие высоту треугольника на $m$ равных частей; эти прямые обозначим, начиная от вершины, через $l_1$, $\ldots$, $l_m$ (рис. 8).
Рассмотрим два соседних клина. Прямая $l_1$ высекает в них одинаковые отрезки. Сдвинем эти клинья так, чтобы эти отрезки «перепрыгнули» друг через друга (рис. 9), и «склеим» теперь эти два клина, т. е. фигуру, полученную из этих двух клиньев, будем рассматривать как единое целое при всех дальнейших параллельных переносах. Такое склеивание произведём для каждых двух соседних клиньев: 1-й склеим со 2-м,3-й с 4-м,$\ldots$, $(2^m-1)$-й с $2^m$-м.
Рис. 8Рис. 9Рис. 10
Фигуру, полученную склеиванием двух клиньев, разобъём на части следующим образом: выделим из неё треугольник с вершиной на прямой $l_1$ и четыре «хвостика». Каждый из «хвостиков» представляет собой треугольник с высотой $\dfrac1m$ (напомним, что высота исходного равностороннего треугольника равна 1). Основание же каждого «хвостика» равно $\dfrac a{m\cdot2^m}$, где $a=\dfrac2{\sqrt3}$ — сторона исходного равностороннего треугольника. Следовательно, общая площадь всех четырёх «хвостиков» равна $2\cdot\dfrac a{m^2\cdot2^m}$, а так как всего имеется $2^{m-1}$ пар склеенных клиньев, то общая сумма площадей «хвостиков» равна $\dfrac a{m^2}$. Площадь $S_1$ равностороннего треугольника $\Delta_1$, отсекаемого от исходного треугольника прямой $l_1$ (рис. 10), равна $\dfrac a{2m^2}$. Таким образом, общая сумма площадей всех «хвостиков» равна $2S_1$. Выбросим теперь все эти «хвостики» из рассмотрения, запомнив сумму их площадей. При всех дальнейших сдвигах сумма площадей отброшенных «хвостиков» может лишь уменьшиться (за счёт перекрытий).
Треугольники, остающиеся после отбрасывания всех «хвостиков» (число этих треугольников равно $2^{m-1}$), будем теперь рассматривать как новые клинья. Сдвинув их вместе, получим из этих $2^{m-1}$ новых клиньев равносторонний треугольник с высотой $1-\dfrac1m$ (рис. 11). Теперь уже не прямая $l_1$, а прямая $l_2$ отсекает от него маленький равносторонний треугольник $\Delta_2$, причём он, очевидно, равен треугольнику $\Delta_1$. Сдвигая и склеивая новые клинья так же, как и раньше, мы опять получим «хвостики», общая сумма площадей которых равна $2S_1$, и «совсем новые» клинья, вершины которых лежат на прямой $l_2$.
Рис. 11
Из этих «совсем новых» клиньев, сдвигая их, получим равносторонний треугольник с высотой $1-\dfrac2m$ склеивая «совсем новые» клинья попарно, опять получим «хвостики», сумма площадей которых равна $2S_1$, и т. д.
Проделаем все $m$ шагов такого построения (на последнем $m$-м шаге получится просто равносторонний треугольник, равный $\Delta_1$, так что ничего и сдвигать не надо). Мы видим, что от первоначальных клиньев после постепенного отрезания «хвостиков» ничего не осталось. Иначе говоря, площадь фигуры, получившейся из первоначальных клиньев после всех сдвигов и склеиваний, меньше общей суммы площадей всех «хвостиков», т. е. меньше, чем
$$
m\cdot2S_1=2m\cdot\dfrac a{2m^2}=\dfrac am=\dfrac2{\sqrt3m}\lt\dfrac2m.
$$
Теперь ясно, что, взяв $m$ достаточно большим, мы сможем сделать эту площадь как угодно малой. Доказательство закончено!
Рис. 12
4. И всё же, может интуиция нас не обманывает? Может быть, круг диаметра 1 действительно является наименьшей по площади фигурой, в которой может совершить полный оборот отрезок длины 1, но только не среди любых фигур (как мы видели, это неверно), а среди всех выпуклых фигур? Ведь те фигуры достаточно малой площади, о которых шла речь выше (см. рис. 7), являются очень «рыхлыми», разбросанными и уж, во всяком случае, невыпуклыми. Напомним, что выпуклой называется такая фигура, которая вместе с каждыми двумя точками целиком содержит и соединяющий их отрезок (рис. 12). Так вот, верно ли, что среди всех выпуклых фигур, в которых отрезок длины 1 может совершить полный оборот, круг диаметра 1 имеет наименьшую площадь?
Оказывается, что и это неверно. Поясним, в чём здесь дело. Пусть $F$ — фигура, в которой может совершить полный оборот отрезок длины 1. Возьмём какую-либо прямую $l$ и проведём две опорные прямые$l_1$ и $l_2$ фигуры $F$, параллельные $l$, т. е. две прямые, между которыми «зажата» фигура $F$ (рис. 13). Так как отрезок, совершающий в фигуре $F$ полный оборот, должен в какой-то момент занять положение, перпендикулярное прямой $l$, то расстояние между прямыми $l_1$ и $l_2$ (его называют шириной фигуры $F$ в направлении, перпендикулярном $l$) не меньше 1. Итак, ширина фигуры $F$ в любом направлении не меньше 1.
Рис. 13Рис. 14
Кажется вполне естественным предположение, что у фигуры наименьшей площади ширина во всех направлениях должна быть равна 1 (иначе площадь, видимо, можно было бы уменьшить). Посмотрим, к чему приведёт нас это предположение.
Прежде всего возникает вопрос, что собой представляет фигура, у которой во всех направлениях ширина равна 1? Нередко отвечают, что такой фигурой может быть только круг диаметра 1. Однако это неверно! Существует бесконечно много различных фигур, у которых ширина равна 1 во всех направлениях; их называют фигурами постоянной ширины 1. На рисунке 14 показаны две такие фигуры. Обе фигуры ограничены дугами окружностей радиуса 1. Из двух параллельных опорных прямых одна проходит через угловую точку, а другая касается дуги окружности, и расстояние между этими прямыми равно 1. Первая из изображённых на рисунке 14 фигур имеет специальное название: треугольник Рело (по имени механика, который впервые заинтересовался свойствами этой фигуры и пытался использовать её при конструировании механизмов).
Фигуры постоянной ширины обладают многими замечательными свойствами. Например, длина кривой, ограничивающей любую фигуру постоянной ширины 1, равна $\pi$, т. е. равна длине окружности диаметра 1 (теорема Барбье). Далее, из всех фигур постоянной ширины 1 наибольшую (а не наименьшую!) площадь имеет круг, а наименьшую площадь имеет треугольник Рело; во всяком случае, нетрудно проверить, что площадь треугольника Рело равна $\dfrac{\pi-\sqrt3}2\approx0{,}7048$ — заметно меньше площади круга, равной $\dfrac\pi4\approx0{,}7854$. Отметим ещё, что две параллельные опорные прямые, проведённые к фигуре постоянной ширины 1, имеют с этой фигурой две общие точки, причём отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен опорным прямым (и, следовательно, имеет длину 1; рис. 14). Из этого следует, что во всякой фигуре постоянной ширины 1 отрезок длины 1 может совершить полный оборот. Доказательство сформулированных здесь утверждений можно найти в упоминавшейся выше книге «Выпуклые фигуры» (см. также журнал «Квант» № 3, 1971 г., стр. 21).
Итак, если бы сделанное выше предположение было верно, то наименьшей (по площади) выпуклой фигурой, в которой может совершить полный оборот отрезок длины 1, был бы треугольник Рело (а вовсе не круг). Но, оказывается (как это на первый взгляд ни кажется странным), что и треугольник Рело не является наименьшей фигурой. Такой наименьшей фигурой служит равносторонний треугольник с высотой 1 (его площадь равна $\dfrac1{\sqrt3}\approx0{,}5773$, т. е. намного меньше площади треугольника Рело). Доказательство этого факта можно найти на стр. 256—258 книги «Выпуклые фигуры».
