Текст статьи Бахмин В. И. Квадрат или не квадрат? // Квант. — 1973. — № 4. — С. 56, 63.
Представьте, что перед вами — многозначное число. Например, 28753892 или 98765432123456789. Сможете ли вы быстро доказать, что оба эти числа не являются квадратами целых чисел?
Оказывается, в данном случае доказать это не так сложно.
Расположим квадраты натуральных чисел в ряд в порядке возрастания: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196,
Вы легко убедитесь, что все квадраты оканчиваются только на 0, 1, 4, 6, 9, 25. Более того, оказывается, что последние цифры квадратов чисел натурального ряда образуют бесконечную последовательность, в которой периодически повторяется набор 1, 4, 9, 6, 25, 6, 9, 4, 1, чередуясь с нулём. Такой набор называют палиндромическим, так как числа в нём расположены симметрично. Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что последняя цифра квадрата числа зависит только от последней цифры самого числа.
Теперь ясно, что квадраты не могут оканчиваться ни на какие другие цифры. Поэтому число 28753892 не может быть квадратом.
А как быть со вторым числом? Ведь оно оканчивается на 9. Тут нам на помощь придёт другой тест (способ проверки).
Сложим цифры любого многозначного числа и затем будем вычитать из этой суммы девятки до тех пор, пока не останется однозначное число. Назовём полученную цифру «цифровым корнем» числа. Оказывается, цифровые корни квадратов могут принимать только следующие значения: 1, 4, 7, 9. Причём они тоже образуют палиндромический набор: 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, на этот раз чередующийся с девяткой. (Попробуйте доказать это самостоятельно.)
С помощью такого теста легко проверить второе число. Найдём его цифровой корень: $$ 9+8+7+6+5+4+3+2+1+2+3+4+5+6+7+8+9=89,\quad 89-9\cdot9=8. $$
Как мы видим, цифровой корень этого числа равен 8. Следовательно, мы можем сказать, что данное число — не квадрат. Поэтому можно не тратить времени на поиски его квадратного корня.