«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
На плоскости даны две точки $A$ и $B$ и прямая $l$, проходящая через точку $A$ и не проходящая через точку $B$. Через точки $A$ и $B$ проводится произвольная окружность. Пусть…
Даны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Найдите наибольшее $m$, обладающее таким свойством: какие бы $m$ из данных чисел ни вычеркнуть, среди оставшихся $1000-m$ чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.
Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образуемых парами сторон и диагоналями выпуклого пятиугольника (см. рис. 1), больше площади всего пятиугольника.
Даны два взаимно простых натуральных числа $a$ и $b$. Известно, что всякое целое число можно представить в виде $ax+by$, где $x$ и $y$ — целые. Рассмотрим множество $M$ целых чисел, которые представимы в виде…
Дан треугольник $ABC$. Сколько существует таких точек $D$, что периметры четырехугольников $ADBC$, $ABDC$ и $ABCD$ одинаковы?
Текст задачи готовится
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как $2:3$. Доказать, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Пусть $a$, $b$, $m$, $n$ — натуральные числа, причём $a$ взаимно просто с $b$ и $a\ge1$. Доказать, что если $a^m + b^m$ делится на $a^n + b^n$, то $m$ делится на…
Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а второй вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности: $$ \def\z{\enspace\mathclap{*}\enspace} \colsep{0pt}{\begin{array}{ccccc} &\z&\z&\z&\z\\[-6pt] \mathllap-\\[-6pt] &\z&\z&\z&\z\\ \hline \end{array}} $$ Затем первый называет ещё одну цифру и т. д. 8 раз, пока все звёздочки не заменятся на цифры. Тот кто называет цифры,…
На прямой дано 50 отрезков. Доказать, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:
В однородной плазме с плотностью (числом зарядов каждого знака в единице объёма — в $1~\text{см}^3$) $n$ все электроны, первоначально находившиеся в слое толщиной $x$, смещаются по нормали к этому слою на расстояние $x$. Найти электрическое поле…
На гладкий горизонтальный стол поставили вертикально гантельку, состоящую из невесомого стержня с двумя одинаковыми маленькими шариками на концах (рис. 3). Верхнему шарику ударом сообщают скорость $\boldsymbol{v}$ в горизонтальном направлении. При какой максимальной длине гантельки…
Проводящий стержень подвешен горизонтально на двух лёгких проводах в вертикальном магнитном поле с индукцией $E = 1~\text{Тл}$ (см. рис. 4). Длина стержня $l = 0{,}2~\text{м}$, масса $m = 10~\text{г}$, длина проводов $l_1 = 0{,}1~\text{м}$. К точкам закрепления проводов подключают конденсатор…
В однородно заряженной сфере радиуса $R$ имеется сферическая полость радиуса $r$, центр которой находится на расстоянии $a$ от центра сферы (рис. 2). Найти напряжённость…
Найти теплоёмкость идеального газа в процессе, при котором температура газа
Оцените время упругого столкновения двух стальных или двух резиновых шаров с одинаковыми радиусами $R=1~\text{см}$. Для стали модуль Юнга $E_с = 2{,}1 \cdot 10^{11}~\text{Н}/\text{м}^2$, плотность стали $\rho_с = 7{,}8 \cdot 10^3~\text{кг}/\text{м}^3$. Модуль Юнга резины…
