Текст статьиКоткин Г. Л. Столкновение шариков // Квант. — 1973. — № 3. — С. 19—21.
Рассматривая упругое столкновение шариков, мы ограничимся лишь грубыми оценками, т. е. при вычислении сил, действующих во время столкновения, и времени столкновения шариков нас не должна смущать ошибка в несколько раз.
Главное — правильно представить себе, что же происходит с шариками. Ясно, что после соприкосновения они деформируются. Но даже в момент остановки деформация сравнительно велика лишь вблизи площадки соприкосновения шариков. В результате деформации возникает сила, стремящаяся вернуть шарики в первоначальное состояние. Эта сила подобно силе упругости пружины отбрасывает шарики друг от друга.
Рис. 1
Попытаемся определить силу упругости этой «пружины». Рассмотрим центральное соударение двух шариков. Учтём, что область проникновения деформации невелика, и заменим сильно деформированную область шарика цилиндром, радиус которого равен радиусу $r$ площадки соприкосновения шариков и высота (т. е. глубина проникновения деформации) тоже равна $r$ (рис. 1). Пусть смещение центра шарика за время от момента касания шариков до их остановки равно $x$. Сила упругости «пружины» определяется законом Гука:
$$
F=ES\dfrac{\Delta l}l,
$$
где $E$ — модуль Юнга, $S=\pi r^2$, $l=r$, $\Delta l=x$. Таким образом,
$$
F\sim Erx.
$$
(Здесь величина $Er$ играет роль коэффициента упругости $k$.) Знак $\sim$ означает равенство по порядку величины, т. е. с возможной ошибкой в несколько раз.
Рис. 2
Выразим теперь $r$ через $x$. Для этого предположим (опять приближённо), что шарик «прогнулся» только на участке $ABC$ (рис. 2). Из подобия треугольников $ABD$ и $ADC$ следует соотношение
$$
\dfrac rx=\dfrac{2R-x}r,
$$
где $R$ — радиус шарика. Поскольку $x\ll R$ и множителем 2 мы можем пренебречь, получаем
$$
r\sim\sqrt{Rx}.\tag1
$$
Подставляя (1) в выражение для силы $F$, находим
$$
F\sim ER^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle2}}x^{\frac{\scriptstyle3}{\scriptstyle2}}.\tag2
$$
Выразим величину $x$ через известные константы и скорость $v$. В момент остановки шарика вся его кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию деформации. Потенциальная энергия деформации равна работе силы упругости на пути $x$:
$$
U\sim Fx\sim ER^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle2}}x^{\frac{\scriptstyle5}{\scriptstyle2}}.
$$
Это означает, что $\dfrac12mv^2=U\sim ER^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle2}}x^{\frac{\scriptstyle5}{\scriptstyle2}}$. Но масса шарика $m=\dfrac43\pi R^3\rho$. Таким образом,
$$
\dfrac12mv^2=\dfrac{2\pi}3R^3\rho v^2\sim R^3\rho v^2.
$$
Следовательно,
$$
R^3\rho v^2\sim ER^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle2}}x^{\frac{\scriptstyle5}{\scriptstyle2}},
$$
откуда
$$
x\sim\dfrac{\rho^{\frac{\scriptstyle2}{\scriptstyle5}}v^{\frac{\scriptstyle4}{\scriptstyle5}}}{E^{\frac{\scriptstyle2}{\scriptstyle5}}}=R\left(\dfrac{\rho v^2}{E}\right)^{\frac{\scriptstyle2}{\scriptstyle5}}.
$$
Удобно обозначить $\dfrac{E}{\rho}=u^2$, тогда $x\sim R\left(\dfrac{v}{u}\right)^{\frac{\scriptstyle4}{\scriptstyle5}}$. Подставим найденное значение $x$ в формулу (2):
$$
F\sim ER^2\left(\dfrac vu\right)^{\frac{\scriptstyle6}{\scriptstyle5}}.\tag3
$$
Оценим время столкновения шариков:
$$
t\sim\dfrac xv\sim\dfrac Ru\left(\dfrac uv\right)^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle5}}.\tag4
$$
Пусть при скорости $v=5$ $\dfrac{\text{см}}{\text{с}}$ сталкиваются два стальных шарика радиуса $R=1$ см (масса такого шарика $\sim30$ г). По формулам (4) и (3) получаем
$$
\begin{gather*}
t\sim\dfrac{10^{-2}}{5\cdot10^{-3}}\left(\dfrac{5\cdot10^3}{5\cdot10^{-2}}\right)^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle5}}~\text{с}\sim2\cdot10^{-5}~\text{c},\\
F\sim2\cdot10^{11}\cdot10^{-4}\left(\dfrac{5\cdot10^{-2}}{5\cdot10^{-3}}\right)^{\frac{\scriptstyle6}{\scriptstyle5}}~\text{Н}\sim20~\text{Н}.
\end{gather*}
$$
Заметим, что чем больше скорость шариков, тем меньше время их соударения.
Провести оценку времени соударения можно и по-другому. Следуя аналогии с пружиной, будем считать, что время соударения шариков соответствует полупериоду колебаний шарика массы $m$ на пружине жёсткости $k\sim Er$, т. е.
$$
t\sim\dfrac T2=\pi\sqrt{\dfrac mk},\tag5
$$
полупериод же тем меньше, чем больше жёсткость.
Сделанная нами оценка неприменима при слишком больших скоростях шариков. В этом случае деформации настолько велики, что перестаёт выполняться закон Гука. Для стали закон Гука справедлив при относительных деформациях $\dfrac{\Delta l}l\le10^{-2}$. Из этого условия можно определить максимальную скорость столкновения шариков. Наибольшая деформация шариков («пружины») $\dfrac{\Delta l}l\sim\dfrac xr\sim\left(\dfrac vu\right)^{\frac{\scriptstyle2}{\scriptstyle5}}\lesssim10^{-2}$, откуда
$$
v\lesssim10^{-5}u\sim5\cdot10^{-2}~\dfrac{\text{м}}{\text{с}}=5~\dfrac{\text{см}}{\text{с}}.
$$
Можно сделать подобную оценку времени и силы взаимодействия при столкновении торцами двух одинаковых цилиндров длины $l$ и радиуса $R$. В этом случае область относительно большой деформации распространяется на объём каждого цилиндра целиком. Предоставляем выкладки (более простые, чем для шариков) читателям и приведём только результаты: $t_1\sim\dfrac lu$, $F_1\sim ER^2\dfrac vu$. Сила взаимодействия при столкновении цилиндров оказывается больше, чем при столкновении шариков: $\dfrac{F_1}F\sim\left(\dfrac uv\right)^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle5}}$, а время при $l\sim R$ — меньше: $\dfrac{t_1}t\sim\left(\dfrac vu\right)^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle5}}$. Для стальных цилиндров, сталкивающихся со скоростью 5 $\dfrac{\text{см}}{\text{с}}$,$\left(\dfrac{u}{v}\right)^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle5}}=10$. Пожалуй, самое интересное отличие этих результатов от оценок для шариков — это независимость времени $t$ от скорости движения цилиндров.
Нужно, однако, иметь в виду, что явления, происходящие при столкновении стержней, гораздо сложнее, чем при столкновении шариков. Деформированная область может расширяться в веществе не мгновенно, а со скоростью звука, по порядку величины равной $u$. Поэтому деформация полностью охватывает стержни за время $\sim\dfrac lu$, т. е. в течение всего времени соударения по стержням распространяются бегущие волны сжатия.
При столкновении шариков деформация распространяется на область «пружины» за время $\tau\sim\dfrac ru\sim\dfrac Ru\left(\dfrac vu\right)^{\frac{\scriptstyle2}{\scriptstyle5}}$‚ гораздо меньшее времени соударения $t$: $\dfrac\tau t\sim\left(\dfrac vu\right)^{\frac{\scriptstyle3}{\scriptstyle5}}\ll1$. Поэтому можно считать, что деформация распространяется на область «пружины» мгновенно (что мы и делали).
Упражнения
Оценить $t$ и $F$ для резиновых шариков радиуса $R=1$ см, сталкивающихся со скоростью $v=10$ $\dfrac{\text{см}}{\text{с}}$. Для резины $E\sim10^6$ $\dfrac{\text{Н}}{\text{м}^2}$,$\rho=10^3$ $\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.
Оценить время удара о стенку хорошо надутого футбольного мяча.
Резиновый шарик со скоростью $v_0$ налетает на два соприкасающихся стальных шарика такой же массы. Центры всех шариков лежат на одной прямой. Какими будут скорости шариков после удара?
Давление $p$ внутри мяча почти не изменяется. Сила $F=\pi r^2p=2\pi Rxp$, т. е. коэффициент жёсткости $k=2\pi Rp$. По формуле (5) $t=\pi\sqrt{\dfrac m{2\pi Rp}}=\sqrt{\dfrac{\pi m}{2Rp}}$. Для футбольного мяча $m\approx0{,}4$ кг,$R\approx10$ см,$p=1$ атм, так что $t\approx10^{-2}$ с.
При столкновении стального и резинового шариков резиновый деформируется значительно сильнее. Время соударения резинового и стального шариков гораздо больше, чем время соударения стальных шариков при той же скорости. Поэтому стальные шарики после соударения движутся примерно так, как если бы мы осторожно толкнули их пальцем, т. е. с одинаковыми скоростями. С помощью законов сохранения импульса и энергии
$$
\begin{gather*}
mv_0=mv_1+2mv_2,\\
\dfrac12mv_0^2=\dfrac12mv_1^2+mv_2^2,
\end{gather*}
$$
где $v_1$ — скорость резинового шарика после соударения, $v_2$ — скорость стальных шариков, находим
$$
v_1=-\dfrac13v_0,\quad v_2=\dfrac23v_0.
$$
МетаданныеКоткин Г. Л. Столкновение шариков // Квант. — 1973. — № 3. — С. 19—21.
