Текст статьиГервер М. Л. Собака бежит наперерез // Квант. — 1973. — № 3. — С. 15—18.
Помните, в «Кванте» № 2 за 1973 год была заметка «Про лису и собаку»?
Лиса бежала по прямой $l$ с постоянной скоростью, а собака с той же скоростью бежала прямо на лису из некоторой точки $\textit{С}_0$.
Спрашивалось, при каких $\textit{С}_0$ собака догонит лису.
В заметке было доказано, что лиса всегда убегает от собаки, кроме единственного случая, когда $\textit{С}_0$ расположена на прямой $l$, перед лисой.
«Ну ладно, — мог сказать читатель, прочтя заметку, — всё это хорошо, только уж очень глупа собака! Бежала бы наперерез...».
§ 1. Постановка задачи
Ладно, пусть собака может бежать как угодно, не обязательно прямо на лису. Но только пусть тогда уж и лиса бежит не по прямой, а тоже как захочет. Про скорости лисы и собаки по-прежнему предполагается, что они равны по величине. И ещё нужно предположить, что всё происходит на огороженном участке.
Если изменить так условия, то мы придём к известной задаче о погоне, придуманной Р. Радо. Только в задаче Радо вместо лисы и собаки фигурировали лев и человек. В книге английского математика Дж. Литлвуда «Математическая смесь» эта задача формулируется так: «Лев и человек, находящиеся на огороженной круглой арене, имеют одинаковую максимальную скорость. Какой стратегии должен придерживаться лев, чтобы быть уверенным в своей трапезе?» Остроумная, но уж слишком кровожадная формулировка — так что будем называть участников погони, как прежде, собакой и лисой.
На первый взгляд кажется, что лисе не спастись, если собака выберет следующую стратегию. Сначала она занимает место в центре круга $O$, а затем бежит так, чтобы всё время находиться на радиусе $O\textit{Л}$, стараясь при этом максимально (насколько позволяет скорость) приблизиться к лисе. Лисе как будто ничего не остаётся, как бежать по окружности (не идти же ей самой на сближение с собакой!). Что получится в этом случае, видно из рисунка 1.
Когда собака заняла центр $O$, лиса находилась в точке $\textit{Л}_0$. Обозначим через $\textit{Л}_1$ такую точку на окружности, что угол $\textit{Л}_0O\textit{Л}_1=\dfrac\pi2$. На отрезке $O\textit{Л}_1$ построим, как на диаметре, вспомогательную окружность $s$. Исходную (вдвое бо́льшую) окружность обозначим через $S$. Пусть лиса побежала из $\textit{Л}_0$ в $\textit{Л}_1$ по окружности $S$, и пусть $\textit{Л}$ — произвольная точка на дуге $\textit{Л}_0\textit{Л}_1$, а $\textit{С}$ — точка пересечения радиуса $O\textit{Л}$ и окружности $s$. Тогда дуги $\textit{Л}_0\textit{Л}$ и $O\textit{С}$ имеют (проверьте это!) одинаковую длину. Таким образом, собака (руководствуясь выбранной стратегией) побежит из $O$ в $\textit{Л}_1$ по окружности $s$; в точке $\textit{Л}_1$ она поймает лису.
Рис. 1Рис. 2
Неожиданная смена направления на противоположное не поможет лисе: если лиса добежит до точки $\textit{Л}$ (рис. 2), а потом бросится назад в точку $\textit{Л}_2$, то собака (в соответствии со своей стратегией) побежит из $\textit{С}$ в $\textit{Л}_2$ по дуге, симметричной $\textit{СЛ}_1$ относительно радиуса $O\textit{Л}$.
Итак, единственный шанс на спасение для лисы — сойти с окружности $S$. Навстречу собаке? Это представляется бессмысленным, и долгое время считалось, что лисе не избежать поимки.
Сравнительно недавно профессор А. С. Безикович опроверг это заблуждение. Ниже мы приведём его решение сначала в случае, когда собака придерживается радиуса $O\textit{Л}$, а потом в случае совершенно произвольного поведения собаки. Лисе в обоих случаях не нужно сразу убегать на окружность. Она должна отступать из некоторой внутренней точки круга очень постепенно, многократно меняя направление, по замысловатому спиралеобразному пути.
§ 2. Две суммы
При изложении решения мы будем строить ломаные, состоящие из бесконечного множества всё более коротких звеньев. Нужно будет, чтобы эти ломаные имели бесконечную длину, но целиком помещались внутри круга. Чтобы потом не прерывать изложения, проведём заранее некоторые вычисления. Выпишем две суммы:
$$
\begin{align*}
L_n&=\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n,\tag1\\
K_n&=\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}+\ldots+\dfrac1{n^2}.\tag2
\end{align*}
$$
Как они ведут себя при увеличении $n$? Возрастают — это ясно (потому что добавляются всё новые положительные слагаемые). Но возрастают безгранично или остаются меньше некоторого числа? Оказывается, первая сумма с ростом $n$ растёт неограниченно, а вторая при любом $n$ меньше 1.
Отсюда $L_4\gt1$, $L_8\gt\dfrac32$, $L_{16}\gt2$ и вообще для $n=2^k$, $L_n\gt\dfrac{k}{2}$. Если $k$ равно двум миллионам, то $L_n$ больше миллиона. Если $k=2\cdot10^9$, то $L_n$ больше миллиарда и т. д. Вообще какое бы число $N$ ни взять, найдётся такое $n$, что $L_n\gt N$ (достаточно положить $n=2^{2M}$, где $M$ — натуральное число, большее $N$, при $m\gt n$ неравенство $L_m\gt N$ выполняется и подавно). Итак, $L_n$ с ростом номера $n$ неограниченно возрастает.
2. Докажем, что $K_n\lt1$ при любом $n$.
Вычислим сумму
$$
S_n=\dfrac1{2\cdot1}+\dfrac1{3\cdot2}+\ldots+\dfrac1{n(n-1)}.
$$
Так как $\dfrac1{m(m-1)}=\dfrac1{m-1}-\dfrac1m$, то $$
S_n=\left(1-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\ldots+\left(\dfrac1{n-1}-\dfrac1n\right).
$$
Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получаем
$$
S_n=1+\left(-\dfrac12+\dfrac12\right)+\left(-\dfrac13+\dfrac13\right)+\ldots+\left(-\dfrac1{n-1}+\dfrac1{n-1}\right)-\dfrac1n=1-\dfrac1n.
$$
Так как $\dfrac1{m^2}\lt\dfrac1{m(m-1)}$, то $K_n\lt S_n$. Итак, при любом $n$
$$
K_n=\dfrac1{2^2}+\ldots+\dfrac1{n^2}\lt1.
$$
Следствие. Пусть $O$ — центр круга радиуса $r$. $\textit{Л}_0$ — точка на расстоянии $r_0$ от центра, $r_0\lt r$. Положим $a=\sqrt{r^2-r_0^2}$ и построим ломаную $L$ так (рис. 3): $\textit{Л}_0\textit{Л}_1=\dfrac{a}{2}$, $\textit{Л}_0\textit{Л}_1\perp O\textit{Л}_0$; $\textit{Л}_1\textit{Л}_2=\dfrac{a}{3}$, $\textit{Л}_1\textit{Л}_2\perp O\textit{Л}_1$; вообще $\textit{Л}_{n-1}\textit{Л}_n=\dfrac{a}{n+1}$, $\textit{Л}_{n-1}\textit{Л}_n\perp O\textit{Л}_{n-1}$. Тогда ломаная $L$ обладает следующими тремя свойствами.
Рис. 3
1). Она не выходит за пределы круга. Действительно,
$$
O\textit{Л}^2_n=O\textit{Л}^2_{n-1}+\textit{Л}_{n-1}\textit{Л}^2_n,
$$
так что при любом $n$
$$
O\textit{Л}^2_n=r_0^2+\dfrac{a^2}{2^2}+\dfrac{a^2}{3^2}+\ldots+\dfrac{a^2}{(n+1)^2}=
r_0^2+a^2K_{n+1}\lt r_0^2+a^2=r^2.
$$
2). Вместе с тем, поскольку
$$
\textit{Л}_0\textit{Л}_1+\textit{Л}_1\textit{Л}_2+\ldots+\textit{Л}_{n-1}\textit{Л}_n=
\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{3}+\ldots+\dfrac{a}{n+1}=aL_{n+1},
$$
то (при достаточно больших $n$) сумма длин первых $n$ звеньев сколь угодно велика. Другими словами, ломаная $L$ имеет бесконечную длину.
3). Наконец, по построению каждое звено $\textit{Л}_{n-1}\textit{Л}_n$ ломаной $L$ перпендикулярно радиусу $O\textit{Л}_{n-1}$.
§ 3. Собака придерживается радиуса
Пусть в начальный момент собака находится в центре круга $O$, а лиса — в точке $\textit{Л}_0$ на расстоянии $r_0$ от центра, где $r_0$ меньше радиуса круга $r$.
Условимся, что собака побежит так, чтобы всегда быть на радиусе $O\textit{Л}$. Тогда лиса сумеет спастись, если будет бежать по ломаной $L$, построенной в § 2. Так как $\textit{Л}_0\textit{Л}_1\perp O\textit{Л}_0$, то собака не может поймать лису, пока та находится на $\textit{Л}_0\textit{Л}_1$. Обозначим через $\textit{С}_1$ точку, в которую прибежит собака, когда лиса окажется в точке $\textit{Л}_1$. Так как $\textit{С}_1$ находится на $O\textit{Л}_1$, а $\textit{Л}_1\textit{Л}_2\perp O\textit{Л}_1$, то $\textit{Л}_1\textit{Л}_2\perp\textit{С}_1\textit{Л}_1$ и собака не может поймать лису, пока та находится на $\textit{Л}_1\textit{Л}_2$. Это продолжается на каждом последующем звене ломаной: $\textit{Л}_n\textit{Л}_{n+1}\perp\textit{С}_n\textit{Л}_n$ и собака не может поймать лису на отрезке $\textit{Л}_n\textit{Л}_{n+1}$ (ни при каком $n$). Так как общая длина ломаной $L$ бесконечна, то бесконечным будет и время, в течение которого лиса будет бежать по ней. Значит, ни за какое конечное время собака не сможет поймать лису.
§ 4. Собака бежит, как хочет
Пусть, наконец, собака и лиса находятся в начальный момент в двух произвольных (разумеется, различных) точках $\textit{С}_0$ и $\textit{Л}_0$ внутри круга радиуса $r$.
Мы покажем сейчас, что, как бы ни вела себя собака, лиса сможет убежать от неё.
Прежде всего, лиса «строит» описанную выше ломаную $L$, но бежит вдоль другой ломаной $L'$, зависящей от того, что делает собака. Опишем построение ломаной $L'$.
Выбор точки$\textit{Л}'_1$. Проведём через точку $\textit{Л}_0$ прямую $l_0$, перпендикулярную $\textit{С}_0\textit{Л}_0$. Пусть $M_0$ — основание перпендикуляра, опущенного из $O$ на $l_0$. Точка $\textit{Л}'_1$ выбирается на продолжении $\textit{Л}_0M_0$ так, чтобы выполнялось равенство $M_0\textit{Л}'_1=\textit{Л}_0\textit{Л}_1$ (где $\textit{Л}_0\textit{Л}_1$ — первое звено ломаной $L$). Поэтому $\textit{Л}_0\textit{Л}'_1\ge\textit{Л}_0\textit{Л}_1$ и $(O\textit{Л}'_1)^2=OM_0^2+(M_0\textit{Л}'_1)^2\le O\textit{Л}^2_0+\textit{Л}_0\textit{Л}_1^2=O\textit{Л}_1^2$.
Выбор точки$\textit{Л}'_{n+1}$. Из точки $\textit{Л}_0$ лиса бежит в $\textit{Л}'_1$. Так как $\textit{Л}_0\textit{Л}'_1\perp\textit{С}_0\textit{Л}_0$, то, пока лиса находится на $\textit{Л}_0\textit{Л}'_1$, собака не может поймать её. Обозначим через $\textit{С}_1$ точку, в которую прибежит: собака, когда лиса достигнет $\textit{Л}'_1$. Из $\textit{Л}'_1$ лиса должна бежать в $\textit{Л}'_2$. Выбор этой точки опишем сразу в общем виде: пусть собака и лиса находятся в точках $\textit{С}_n$ и $\textit{Л}'_n$; объясним, как тогда выбрать $\textit{Л}'_{n+1}$ (см. рис. 4).
Рис. 4
Проведём через $\textit{Л}'_n$ прямую $l_n$, перпендикулярную $\textit{С}_n\textit{Л}'_n$. Пусть $M_n$ — основание перпендикуляра, опущенного из $O$ на $l_n$. Точку $\textit{Л}'_{n+1}$ выберем на продолжении $\textit{Л}'_nM_n$ на расстоянии $\textit{Л}_n\textit{Л}_{n+1}$ от точки $M_n$ (где $\textit{Л}_n\textit{Л}_{n+1}$ — $(n+1)$-е звено ломаной $L$). Таким образом, $\textit{Л}'_n\textit{Л}'_{n+1}\ge M_n\textit{Л}'_{n+1}=\textit{Л}_n\textit{Л}_{n+1}$. Теперь оценим $O\textit{Л}'_{n+1}$. Допустим, что точку $\textit{Л}'_n$ нам удалось выбрать так, что $O\textit{Л}'_n\le O\textit{Л}_n$. Тогда поскольку $OM_n\le O\textit{Л}'_n$, выполняется неравенство
$$
(O\textit{Л}'_{n+1})^2=OM_n^2+(M_n\textit{Л}'_{n+1})^2\le O\textit{Л}_n^2+\textit{Л}_n\textit{Л}^2_{n+1}=O\textit{Л}^2_{n+1}
$$
и тем самым $O\textit{Л}'_{n+1}\le O\textit{Л}_{n+1}$.
Итак, каждое звено ломаной $L'$ не короче соответствующего звена $L$, а каждая вершина $L'$ расположена не дальше от центра $O$, чем соответствующая вершина $L$: $\textit{Л}'_n\textit{Л}'_{n+1}\ge\textit{Л}_n\textit{Л}_{n+1}$; $O\textit{Л}'_n\le O\textit{Л}_n$. Иначе говоря, ломаная $L'$ имеет бесконечную длину, но целиком помещается в круге радиуса $r$ с центром $O$. По построению $\textit{С}_n\textit{Л}'_n\perp\textit{Л}'_n\textit{Л}'_{n+1}$ при любом $n$. Значит, собака по-прежнему не сможет поймать лису.
Таким образом, как бы ни вела себя собака, лиса сможет от неё убежать!
Задачи
Когда лиса $\textit{Л}$ бежала по прямой, а собака $\textit{С}$ бежала прямо на неё (см. заметку «Про лису и собаку» в «Кванте» № 2 за 1973 г.), то расстояние $\textit{СЛ}$ всегда оставалось больше некоторого положительного числа. Докажите, что как бы ни вела себя лиса в круге и как бы мало ни было положительное число $p$, собака может за конечное время приблизиться к лисе на расстояние, меньшее $p$. Достаточно ли для этого собаке всегда придерживаться радиуса $O\textit{Л}$? Достигнет ли этого собака, если будет бежать прямо на лису?
Догонит ли собака лису, бегущую по окружности, если будет бежать всё время прямо на неё?
Наши рассуждения были основаны на том, что сумма $L_n=\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n$ с ростом $n$ неограниченно возрастает, а сумма $K_n=\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}+\ldots+\dfrac1{n^2}$ при любом $n$ меньше 1. Исследуйте, как ведут себя с ростом $n$ суммы
$$
\begin{align*}
S_n&=\dfrac1{2\sqrt2}+\dfrac1{3\sqrt3}+\ldots+\dfrac1{n\sqrt n},\\
\Sigma_n&=\dfrac1{2\sqrt2}+\dfrac1{3\!\sqrt[\scriptstyle3~]3}+\ldots+\dfrac1{n\!\sqrt[\scriptstyle n~]n}\\
\text{и}\quad
P_n&=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac15+\dfrac17+\dfrac1{11}+\ldots+\dfrac1{p_n}
\end{align*}
$$
($p_n$ — $n$-е простое число).
И в заключение — три задачи, в которых преследователей несколько, причём действуют они согласованно. Скорости у спасающихся и догоняющих одинаковые, двигаться все могут, как хотят.
Может ли лиса на круглом огороженном участке убежать от двух собак?
Докажите, что муха, летающая внутри куба, может спастись от двух, но не может спастись от трёх птиц.
Сколько времени понадобится трём птицам, чтобы поймать муху внутри куба с ребром 1 (скорости тоже равны 1)?
