Изображения страниц
Текст статьи Дьяконов И. А., Мордкович А. Г., Наслузов И. И. Телевизионные физико-математические курсы для поступающих в вузы // Квант. — 1973. — № 3. — С. 57.
На физическом отделении физико-математических курсов закончено изучение разделов «Электростатика» и «Электрический ток». Предлагаем читателям журнала решить несколько задач по этим разделам.
Четыре конденсатора и источник тока соединены в электрическую цепь так, как показано на рисунке 1. Определить разность потенциалов между точками
$A$ и$B$, если$C_1=C_4=4{,}0$ мкФ;$C_2=C_3=2{,}0$ мкФ;$E=9{,}0$ В.Шарик с массой
$m=1{,}0$ г$q=+1{,}0\cdot10^{-6}$ Кл,$\alpha=45^\circ$ от вертикали, и отпущен. Найти напряжённость поля, если сила натяжения нити при прохождении шариком вертикального положения равна$T=8{,}0\cdot10^{-2}$ Н.Конденсатор ёмкостью
$C=10$ мкФ$R_1=2{,}0$ Ом;$R_4=R_2=1{,}0$ Ом;$R_3=5{,}0$ Ом;$E=10$ В.Подъёмный кран начинает поднимать груз массой
$m=1500$ кг$a=0{,}30$ $\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$. $U=380$ В$\eta=60$ %.$I=120$ А.ЭДС батареи
$E=20$ В.$U_1=18$ В.$U_2=16$ В.
В феврале и марте на телевизионных занятиях по математике рассматривалась тема «Уравнения и неравенства». Были обсуждены общие вопросы, связанные с понятиями уравнения, неравенства, и рассмотрены различные приёмы решения рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств. Предлагаем читателям журнала контрольную работу №3 по указанной теме.
Контрольная работа №3
Пусть
$\alpha$ и$\beta$ — корни уравнения$x^2+7x-4=0$. Не вычисляя$\alpha$ и$\beta$, найти значение выражения $$ \dfrac{1}{(2\alpha+1)^2}+\dfrac{1}{(2\beta+1)^2}. $$
Решить уравнения:
$\dfrac{6}{(x+1)(x+2)}+\dfrac{8}{(x-1)(x+4)}=1$; $\log_{12}(4^{3x}+3x-9)=3x-x\log_{12}27$; $\sin2x+5\sin x+5\cos x+1=0$; $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$.
Решить неравенства:
$\dfrac{x^2-|x|-12}{x-3}\ge2x$; $\sqrt{x^2-4x}\gt x-3$; $\dfrac{4\sin^2x-1}{\sqrt3-\sin x-\cos x}\gt0$; $(\log_2x)^3-\left(\log_{\frac12}\dfrac{x^3}{8}\right)^2+9\log_2\dfrac{32}{x^3}\lt4\left(\log_{\frac12}x\right)^2+15$.
Ответы, указания, решения
Физика
$U_{AB}=\dfrac{E(C_1C_4-C_2C_3)}{(C_!+C_2)(C_3+C_4)}=3{,}0$ В.$E=\dfrac{T-mg(3-2\cos\alpha)}{2q\sin\alpha}\approx4{,}6\cdot10^4$ $\dfrac{\text{В}}{\text{м}}$. $\Delta q=q_2-q_1=-CE\dfrac{R_3}{R_3+R_4}=-0{,}83\cdot10^{-4}$ Кл.$v=\dfrac{IU\eta}{m(a+g)}=1{,}8$ $\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$. $U_3=E\dfrac{U_1U_2}{E(U_1+U_2)-U_1U_2}=14{,}7$ В.
Математика
$\dfrac{202}{841}$. $0$; $-3$; $\dfrac{-3\pm\sqrt{73}}{2}$. Указание. Положить$y=x^2+3x$. $x=3$. $x=-\dfrac\pi4+\pi k$. Указание. Положить$y=\sin x+\cos x$ и учесть, что$1+\sin2x=(\sin x+\cos x)^2$. $x=3$. Указание. Положить$y=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}$. $x\lt3$. $x\le0$; $x\gt4{,}5$. Указание. Задача сводится к решению совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^2-4x\ge0,\\ x-3\lt0, \end{array} \right.\\[13pt] \left\{\begin{array}{l} x^2-4x\ge0,\\ x-3\ge0,\\ x^2-4x\gt x^2-6x+9. \end{array} \right. \end{array}\right. $$$\pi k+\dfrac\pi6\lt x\lt\dfrac{5\pi}{6}+\pi k$. Указание. Учесть, что$\sin x+\cos x\lt\sqrt3$ при любых$x$. $0\lt x\lt2^{6-\sqrt{57}}$; $2\lt x\lt2^{6+\sqrt{57}}$.