Изображения страниц
Текст статьи Дьяконов И. А., Мордкович А. Г., Наслузов И. И. Телевизионные физико-математические курсы для поступающих в вузы // Квант. — 1973. — № 3. — С. 57.
На физическом отделении физико-математических курсов закончено изучение разделов «Электростатика» и «Электрический ток». Предлагаем читателям журнала решить несколько задач по этим разделам.
Четыре конденсатора и источник тока соединены в электрическую цепь так, как показано на рисунке 1. Определить разность потенциалов между точками
$A$ и$B$, если$C_1=C_4=4{,}0\,\text{мкФ}$; $C_2=C_3=2{,}0\,\text{мкФ}$; $E=9{,}0\,\text{В}$. Рисунок номер 1 Шарик с массой
$m=1{,}0\,\text{г}$ и зарядом$q=+1{,}0\cdot10^{-6}\,\text{Кл}$, подвешенный на нерастяжимой и невесомой нити, находится в однородном электрическом поле. Поле направлено слева направо, силовые линии его горизонтальны. Шарик был отведён влево так, что нить отклонилась на угол$\alpha=45^\circ$ от вертикали, и отпущен. Найти напряжённость поля, если сила натяжения нити при прохождении шариком вертикального положения равна$T=8{,}0\cdot10^{-2}\,\text{Н}$. Конденсатор ёмкостью
$C=10\,\text{мкФ}$ включён в цепь постоянного тока (рис. 2). Определить изменение заряда на конденсаторе после замыкания ключа К, если$R_1=2{,}0\,\text{Ом}$; $R_4=R_2=1{,}0\,\text{Ом}$; $R_3=5{,}0\,\text{Ом}$; $E=10\,\text{В}$. Рисунок номер 2 Подъёмный кран начинает поднимать груз массой
$m=1500\,\text{кг}$ равноускоренно с ускорением$a=0{,}30\,\text{м/с}^2$. Электродвигатель крана питается от сети с напряжением$U=380\,\text{В}$ и имеет КПД$\eta=60\,\%$. Определить скорость груза в тот момент, когда через обмотку двигателя течёт ток$I=120\,\text{А}$. ЭДС батареи
$E=20\,\text{В}$. При подключении к батарее некоторого сопротивления падение напряжения на нём будет$U_1=18\,\text{В}$. Если к батарее подключить другое сопротивление, то падение напряжения на нём$U_2=16\,\text{В}$. Определить падение напряжения на обоих сопротивлениях, соединённых параллельно.
В феврале и марте на телевизионных занятиях по математике рассматривалась тема «Уравнения и неравенства». Были обсуждены общие вопросы, связанные с понятиями уравнения, неравенства, и рассмотрены различные приёмы решения рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств. Предлагаем читателям журнала контрольную работу № 3 по указанной теме.
Контрольная работа № 3
Пусть
$\alpha$ и$\beta$ — корни уравнения$x^2+7x-4=0$. Не вычисляя$\alpha$ и$\beta$, найти значение выражения $$ \dfrac{1}{(2\alpha+1)^2}+\dfrac{1}{(2\beta+1)^2}. $$
Решить уравнения:
$\dfrac{6}{(x+1)(x+2)}+\dfrac{8}{(x-1)(x+4)}=1$; $\log_{12}(4^{3x}+3x-9)=3x-x\log_{12}27$; $\sin2x+5\sin x+5\cos x+1=0$; $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$.
Решить неравенства:
$\dfrac{x^2-|x|-12}{x-3}\ge2x$; $\sqrt{x^2-4x}\gt x-3$; $\dfrac{4\sin^2x-1}{\sqrt3-\sin x-\cos x}\gt0$; $(\log_2x)^3-\left(\log_{\frac12}\dfrac{x^3}{8}\right)^2+9\log_2\dfrac{32}{x^3}\lt4\left(\log_{\frac12}x\right)^2+15$.
Ответы, указания, решения
Физика
$U_{AB}=\dfrac{E(C_1C_4-C_2C_3)}{(C_!+C_2)(C_3+C_4)}=3{,}0\,\text{В}$. $E=\dfrac{T-mg(3-2\cos\alpha)}{2q\sin\alpha}\approx4{,}6\cdot10^4\,\text{В/м}$. $\Delta q=q_2-q_1=-CE\,\dfrac{R_3}{R_3+R_4}=-0{,}83\cdot10^{-4}\,\text{Кл}$. $v=\dfrac{IU\eta}{m(a+g)}=1{,}8\,\text{м/с}$. $U_3=E\,\dfrac{U_1U_2}{E(U_1+U_2)-U_1U_2}=14{,}7\,\text{В}$.
Математика
$\dfrac{202}{841}$. $0$; $-3$; $\dfrac{-3\pm\sqrt{73}}{2}$. Указание. Положить$y=x^2+3x$. $x=3$. $x=-\dfrac\pi4+\pi k$. Указание. Положить$y=\sin x+ \cos x$ и учесть, что$1+\sin2x=(\sin x+\cos x)^2$. $x=3$. Указание. Положить$y=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}$. $x\lt3$. $x\le0$; $x\gt4{,}5$. Указание. Задача сводится к решению совокупности двух систем: $$ \begin{gather*} \left\{ \begin{align*} x^2-4x&\ge0,\\ x-3&\lt0,\\ \end{align*} \right.\\ \left\{\begin{align*} x^2-4x&\ge0,\\ x-3&\ge0,\\ x^2-4x&\gt x^2-6x+9. \end{align*} \right. \end{gather*} $$$\pi k+\dfrac\pi6\lt x\lt\dfrac{5\pi}{6}+\pi k$. Указание. Учесть, что$\sin x+\cos x\lt\sqrt3$ при любых$x$. $0\lt x\lt2^{6-\sqrt{57}}$; $2\lt x\lt2^{6+\sqrt{57}}$.