Текст статьи Баканина Л. П., Козел С. М. Принцип суперпозиции в электростатике // Квант. — 1973. — № 3. — С. 50—55.
Один из основных законов электростатики — закон Кулона. Этот закон был открыт в 1785 году; с тех пор он подвергался многократной экспериментальной проверке со всё возрастающей точностью. Английский учёный Кавендиш, блестящий экспериментатор, проверил этот закон с точностью около 2 % (для тех времён точность весьма высокая). В настоящее время такая проверка проведена с точностью не хуже
Закон Кулона устанавливает силу взаимодействия точечных зарядов:
$$
F=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{q_1q_2}{R^2},
$$
где
Реальные тела имеют конечные размеры. Если расстояние между заряженными телами много больше их размеров, силу взаимодействия можно приближённо определить с помощью закона Кулона; причём степень приближения тем выше, чем меньше отношение размеров тел к расстоянию между ними. Если закон Кулона непосредственно применить к телам, размер которых порядка или больше расстояния между ними, получится неверный результат. Нельзя, например, с помощью закона Кулона вычислить силу взаимодействия между пластинами плоского конденсатора. Подставив в закон Кулона заряд
Границы применимости закона Кулона существенно расширяются, если принять во внимание принцип суперпозиции. Допустим, что нас интересует сила взаимодействия двух небольших заряженных тел в том случае, когда поблизости имеется третье заряженное тело. Можно ли использовать в этом случае закон Кулона? В самом законе Кулона не содержится никаких указаний на этот счёт. Только опыт может ответить на поставленный вопрос. С аналогичным вопросом приходится сталкиваться в явном или неявном виде практически во всех задачах электростатики, поскольку речь, как правило, идёт о протяжённых заряженных телах, которые можно рассматривать как совокупность большого числа точечных зарядов. К этой же проблеме сводится и задача об определении силы взаимодействия между пластинами плоского конденсатора.
Анализ экспериментальных фактов приводит к выводу: сила взаимодействия двух зарядов не изменяется в присутствии третьего заряда. Это утверждение и лежит в основе принципа суперпозиции, который наряду с законом Кулона является фундаментальным законом электростатики.
Принцип суперпозиции удобно сформулировать, рассматривая не силы взаимодействия, а электрические поля, создаваемые системой зарядов: напряжённость электрического поля, создаваемого системой электрических зарядов в данной точке, является суперпозицией (то есть суммой) полей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов. При этом нужно помнить, что напряжённость поля — векторная величина; складывать напряжённости полей надо геометрически, по правилу сложения векторов.
Использование этого принципа для вычисления полей, создаваемых несколькими точечными зарядами, обычно не вызывает никаких затруднений. Поэтому примеры такого рода мы здесь рассматривать не будем. А вот в случае протяжённых зарядов (например, заряженная плоскость или несколько заряженных плоскостей) у многих школьников возникают затруднения. Часто эти затруднения связаны с весьма распространённым заблуждением, что всякая металлическая поверхность экранирует поле.
Рассмотрим сначала задачи с плоской геометрией (система параллельных заряженных плоскостей). Поле одиночной заряженной проводящей плоскости однородно (одинаково во всех точках) и равно
Задача 1. Найти напряжённость поля, создаваемого двумя параллельными заряженными плоскостями. Поверхностная плотность заряда на одной из плоскостей равна
Поле во всём пространстве является суперпозицией полей, создаваемых каждой плоскостью в отдельности. Поэтому в любой точке слева от плоскости 1 (рис. 1), например в точке
Рассмотрим теперь несколько частных случаев:
Поверхностная плотность зарядов на обеих плоскостях одинакова:
$\sigma_1=\sigma_2=\sigma$. В этом случае$E_1=E_2$ и суммарное поле между плоскостями равно нулю (рис. 2), а слева и справа от пластин поле равно$E_1+E_2=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$. Рисунок номер 2 Плотности зарядов на плоскостях одинаковы по величине, но имеют противоположные знаки:
$\sigma_1=-\sigma_2=\sigma$. Такую систему называют плоским конденсатором. Напряжённость поля между обкладками конденсатора равна$E=E_1+E_2=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$, а снаружи поле равно нулю (для реальных конденсаторов это выполняется лишь приближённо). В этом случае электрическое поле сосредоточено в пространстве между плоскостями (рис. 3).Рисунок номер 3 Заметим, что из выражения для поля плоского конденсатора легко получить выражение для ёмкости конденсатора. Пусть
$S$ — площадь пластин,$d$ — расстояние между ними,$q$ — заряд конденсатора и$U$ — разность потенциалов между обкладками. Тогда $$ E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}=\dfrac{q}{\varepsilon_0S};\quad U=Ed=\dfrac{d}{\varepsilon_0S}\,q. $$Поскольку по определению ёмкость — это отношение заряда к разности потенциалов, имеем $$ C=\dfrac{q}{U}=\dfrac{\varepsilon_0S}{d}. $$
Плоскость 2 не заряжена:
$\sigma_2=0$ (рис. 4). В этом случае вторая плоскость поля не создаёт; электрическое поле создаётся только зарядами первой плоскости. Следует отметить, что этот вывод справедлив только при параллельном расположении плоскостей, когда незаряженная плоскость совпадает с одной из эквипотенциальных поверхностей поля первой плоскости.Рисунок номер 4
Рассмотрим теперь с точки зрения принципа суперпозиции, что происходит внутри проводящих пластин.
Задача 2. Две металлические пластины расположены параллельно (рис. 5). Пластине 1 сообщают заряд
Обозначим поверхностную плотность зарядов на левой и правой сторонах первой пластины через
Тогда можно записать: $$ \begin{array}{l} \left(\sigma'_1+\sigma''_1\right)S=Q,\\ \left(\sigma'_2+\sigma''_2\right)S=0. \end{array} \tag{1} $$
Согласно принципу суперпозиции поле в любой точке (в том числе и внутри пластины) получается суммированием полей, создаваемых четырьмя заряженными плоскостями с поверхностными плотностями зарядов
Электростатическое поле в проводниках равно нулю, поэтому $$ E_a=E_b=0. \tag{4} $$
Решая совместно уравнения (1), (2), (3), (4), находим, что $$ \begin{gather*} \sigma'_1=\sigma''_1=\dfrac{Q}{2S},\\ \sigma'_2=-\sigma''_2=-\dfrac{Q}{2S}. \end{gather*} $$
Таким образом, незаряженная пластина 2 представляет собой как бы плоский конденсатор: всё поле, создаваемое индуцированными зарядами разных знаков
Задача 3. В пространство между пластинами незаряженного плоского конденсатора вносится металлическая пластина, имеющая заряд
Так как пластины конденсатора не заряжены и на них появляется только индуцированный заряд, они не создают поля снаружи. Поле в зазорах создаёт только заряженная пластина. Напряжённость этого поля $$ E=\dfrac{Q}{2\varepsilon_0S}. $$
Разность потенциалов между этой пластиной и левой обкладкой конденсатора равна $$ \varphi_{01}=El_1, $$ а между пластиной и правой обкладкой — $$ \varphi_{02}=El_2. $$
Таким образом, разность потенциалов между обкладками равна
$$ \varphi_{12}=E(l_1-l_2)=\dfrac{Q}{2\varepsilon_0S}\,(l_1-l_2). $$Теперь рассмотрим несколько задач с полями, имеющими уже не плоскую, а сферическую геометрию.
Задача 4. Опыт Кавендиша, о котором упоминалось в начале статьи, заключался в измерении электрического поля внутри заряженной металлической сферы. Покажите, пользуясь законом Кулона и принципом суперпозиции, что напряжённость поля внутри заряженной металлической сферы равна нулю.
Возьмём произвольную точку
Таким образом,
Так как всю поверхность сферы мы можем разбить из точки
Задача 5. В центре металлической сферы помещён точечный заряд
На внутренней и внешней поверхностях сферической оболочки наведутся по индукции заряды, одинаковые по величине и разные по знаку (сфера в целом не заряжена). Из соображений сферической симметрии ясно, что наведённые заряды равномерно распределяются по сферам. Эти заряды должны быть такими, чтобы суммарное поле в проводнике было равно нулю (рис. 8). В соответствии с принципом суперпозиции поле в любой точке оболочки (например, в точке
$a$) создаётся точечным зарядом$Q$ и зарядом внутренней сферы (наружная сфера, как следует из решения задачи 4, поля внутри себя не создаёт). Поле равномерно заряженной сферы снаружи такое же, как поле точечного заряда, помещённого в центре; поэтому условие компенсации полей в точке$a$ будет выполнено, если заряд внутренней сферы будет равен$-Q$. Поскольку оболочка в целом не заряжена, на её внешней поверхности наведётся заряд$+Q$. Теперь, пользуясь принципом суперпозиции, можно заключить, что поле внутри и вне оболочки равно полю точечного заряда$Q$, помещённого в её центре.Рисунок номер 8 При заземлении проводника его потенциал обращается в нуль. В нашем случае это означает, что обращается в нуль напряжённость электрического поля снаружи оболочки. Для этого необходимо, чтобы исчез заряд с наружной поверхности (он уходит в землю). На внутренней поверхности по-прежнему индуцируется заряд
$-Q$. Поле этого заряда компенсирует поле точечного заряда$Q$ всюду, кроме области внутри оболочки. Таким образом, заземлённая оболочка является электростатическим экраном.Интересно отметить, что этот вывод справедлив при любой форме оболочки и любом расположении заряда внутри неё. В случае, например, заземлённой сферической оболочки, но при несимметричном расположении точечного заряда поле снаружи по-прежнему равно нулю, а поле внутри уже не будет симметричным. Наведённый на внутренней поверхности заряд
$-Q$ теперь уже не будет распределён равномерно.Если убрать заземление и сообщить оболочке дополнительный заряд
$Q$ (при этом её полный заряд станет равным нулю), то этот заряд должен так распределиться по оболочке, чтобы поле в проводнике осталось равным нулю. Это будет достигнуто только при равномерном распределении заряда$Q$ по внешней поверхности сферической оболочки. Отсюда следует, что поле снаружи в случае незаряженной сферической оболочки будет симметричным (кулоновским) независимо от расположения заряда внутри оболочки (рис. 9).Рисунок номер 9
Рассмотренные здесь примеры иллюстрируют применение принципа суперпозиции при решении задач электростатики. Мы не рассматривали поля в диэлектриках. Следует напомнить, что и в случае диэлектриков электрическое поле является суперпозицией полей всех зарядов, в том числе и связанных (поляризационных) зарядов в диэлектриках.
В заключение предлагаем несколько упражнений для самостоятельного решения.
Упражнения
В плоском изолированном конденсаторе одна пластина имеет заряд
$Q_1$, а другая$Q_2$. Внутрь конденсатора параллельно обкладкам помещают незаряженную металлическую пластину.Какой заряд будет индуцирован на левой и правой поверхностях пластины?
Четыре одинаковые металлические пластины расположены в воздухе на равных расстояниях
$d$ друг от друга. Площадь каждой из пластин равна$S$. Крайние пластины соединены между собой проводником, средние подсоединены к батарее с напряжением$U$. Найти заряды средних пластин, считая расстояние
$d$ между пластинами малым по сравнению с размерами пластин.Имеются два точечных заряда: отрицательный заряд
$-q$ с массой$m$ и положительный заряд$Q$ с массой$M$. На каком расстоянии
$d$ друг от друга должны быть расположены заряды, чтобы во внешнем однородном электрическом поле с напряжённостью$E$ они двигались с одинаковым ускорением?Используя результаты решения задачи 4, рассмотренной в статье, показать, что электрическое поле внутри шара, равномерно заряженного по объёму, изменяется прямо пропорционально расстоянию
$r$ от центра.Проводящий шар радиуса
$R$ концентрически окружён проводящей сферической оболочкой. Заряд шара$Q$, оболочка не заряжена. Внутренний радиус оболочки$R_1$, наружный$R_2$. Определить напряжённость поля во всём пространстве и потенциалы оболочки и шара (относительно бесконечности).
Ответы, указания, решения
$q_1=-q_2=\dfrac{Q_1-Q_2}{2}$. $q_2=-q_3=\dfrac{3\varepsilon_0S}{2d}\,U$. $d=\left[\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{(m+M)qQ}{E(mQ+Mq)}\right]^{\frac12}$. $E=\dfrac{\rho}{3\varepsilon_0}\,r$ при$r\le R$, $E=\dfrac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\dfrac{R^3}{r^2}$ при$r\ge R$ ($R$ — радиус шара,$\rho$ — объёмная плотность заряда).$E=0$ при$r\lt R$ и$R_1\lt r\lt R_2$, $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ при$R\lt r\lt R_1$ и$r\gt R_2$, $\varphi_{\text{оболочки}}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R_2}$, $\varphi_{\text{шара}}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{R_2}-\dfrac{1}{R_1}\right)$.