Изображения страниц
Текст статьи Германович П. Ю. Разные задачи // Квант. — 1973. — № 2. — С. 38.
- Брошены два игральных кубика. Какая сумма чисел на их верхних гранях наиболее вероятна?
$\!\sqrt[\scriptstyle6~]{4{*}{*}{*}{*}}$ — целое число. Найти это число.$\!\sqrt[\scriptstyle5~]{{*}{*}{*}{*}{*}4}$ — целое число. Найти его.Задумано число. Если записать его в двоичной системе, а затем зачеркнуть в нём последнюю цифру, то получится то же самое число, но записанное уже в троичной системе. Если же и в этом числе снова зачеркнуть последнюю цифру, то опять получится задуманное число, но изображённое в десятичной системе.
Найти задуманное число.
- Найти двузначное число, которое, будучи записано в двоичной, четвертичной и восьмеричной системах счисления, каждый раз изображается одинаковыми цифрами (но различными в различных системах).
$$\def\!#1{\text{#1}} \colsep{1pt}{\hphantom{+}\begin{array}{rcccc} &\!f&\!o&\!u&\!r\\[-6pt] \mathllap{+}\\[-6pt] &\!f&\!i&\!v&\!e\\\hline &\!n&\!i&\!n&\!e \end{array}}$$
Известно, что four кратно 4, five кратно 5, nine кратно 3.
Расшифровать это сложение.
- В шахматном турнире участвовали ученики 9 и 10 классов. Каждый игрок играл один раз с каждым участником турнира. Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девятиклассников, а набрали они в 4,5 раза больше очков, чем девятиклассники. Сколько в турнире было девятиклассников и сколько очков они набрали?
Ответы, указания, решения
- Сумма очков на верхних гранях двух кубиков не меньше 2 и не больше 12. Наиболее вероятна та сумма, которая может быть получена наибольшим числом сложений двух слагаемых (учитывая и их порядок), каждое из которых есть одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наибольшим числом сложений — шестью — можно образовать сумму 7:
$1+6$, $2+5$, $3+4$, $4+3$, $5+2$, $6+1$. $\!\sqrt[\scriptstyle6~]{4{*}{*}{*}{*}}=\!\sqrt[\scriptstyle3~]{\sqrt{4{*}{*}{*}{*}}}=\!\sqrt[\scriptstyle3~]{2{*}{*}}$ — целое число, т. е.$2{*}{*}$ — точный куб. Но между числами 200 и 299 единственный точный куб — это число$216=6^3$. Следовательно,$\!\sqrt[\scriptstyle6~]{4{*}{*}{*}{*}}=6$. - Пусть
$\!\sqrt[\scriptstyle5~]{{*}{*}{*}{*}{*}4}=x$, $x^5={*}{*}{*}{*}{*}4$. Легко показать, что$x$ оканчивается цифрой 4. Но$x\gt10$, так как$10^5=100\,000\lt{*}{*}{*}{*}{*}4$ и$x\lt20$, так как$20^5=2^5\cdot10^5=32\cdot10^5$ — число семизначное. Итак,$10\lt x\lt20$, поэтому$x=14$. $10=101_3=1010_2$. $63=77_8=333_4=111\,111_2$. $1960+1475=3435$. - В турнире участвовал только один девятиклассник, который набрал 10 очков.