«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Найдите все решения в натуральных числах уравнения $$ n^x+n^y=n^z. $$
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма — число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее — 1973 раза (рис. 1). Сколько раз будет написано число 1973?
Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют $\dfrac13$ их длины. С полученным восьмиугольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого…
По арене круглого цирка радиуса 10 м бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов, на которые он поворачивал (рис. 3), не меньше 2998 радиан.
Текст задачи готовится
На плоскости даны две точки $A$ и $B$ и прямая $l$, проходящая через точку $A$ и не проходящая через точку $B$. Через точки $A$ и $B$ проводится произвольная окружность. Пусть…
Даны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Найдите наибольшее $m$, обладающее таким свойством: какие бы $m$ из данных чисел ни вычеркнуть, среди оставшихся $1000-m$ чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.
Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образуемых парами сторон и диагоналями выпуклого пятиугольника (см. рис. 1), больше площади всего пятиугольника.
Даны два взаимно простых натуральных числа $a$ и $b$. Известно, что всякое целое число можно представить в виде $ax+by$, где $x$ и $y$ — целые. Рассмотрим множество $M$ целых чисел, которые представимы в виде…
