Бронштэн В. А.

Затменные переменныеБронштэн В. А. Затменные переменные // Квант. — 1972. — № 9. — С. 22⁠—⁠29.‍‍

При изучении Вселенной астрономам не раз приходилось убеждаться в том, что правильный анализ наблюдаемого явления почти всегда позволяет получить множество данных об изучаемом небесном теле или группе тел. Прекрасным примером этого являются так называемые затменные переменные звёзды.

В 1669 г. итальянский математик и астроном Дж. Монтанари обнаружил, что звезда Алголь (β Персея) периодически меняет свой блеск. (Возможно, что переменность блеска этой звезды была известна ещё древним арабам, которые и назвали её поэтому Рас Аль-Гуль — «голова дьявола». Это арабское название превратилось потом в Алголь.) О работах Монтанари мы знаем мало, так как многие его сочинения не дошли до нас. Известно лишь, что он открыл переменность блеска не одного Алголя, а около ста звёзд. Но каких именно, мы не знаем: каталог Монтанари погиб.

Сто с лишним лет спустя наблюдениями Алголя занялся английский любитель астрономии, восемнадцатилетний глухонемой юноша Джон Гудрайк. Из своих наблюдений за 1782⁠—⁠1783 гг. он установил, что Алголь, который обычно светит как звезда 2-й величины, примерно раз в трое суток ослабевает до 3⁠—⁠4 величины.

В астрономии блеск звёзд принято выражать в звёздных величинах — единицах, пропорциональных логарифму освещённости, создаваемой звездой на плоскости, перпендикулярной к её лучам. Блеск звезды зависит только от её силы света и расстояния от Земли, и не зависит от того, наблюдаем ли мы звезду простым глазом или в телескоп, поскольку освещённость зрачка глаза и объектива телескопа светом звезды, естественно, одна и та же. Блеск в астрономии принято обозначать буквой $L$‍‍ (luminosity), звёздную величину — буквой $m$‍.‍

Разность в 1 звёздную величину соответствует отношению блеска в 2,512 раза‍. Разность двух любых звёздных величин $m_1$‍‍ и $m_2$‍‍ равна $$ m_2-m_1=2{,}5\log\dfrac{L_1}{L_2}, $$ где $L_1$‍‍ и $L_2$‍‍ — блеск звёзд.

Наблюдая Алголь, Гудрайк заметил, что уменьшение его блеска до минимума и обратный рост до «нормального» значения продолжаются приблизительно по 4,5 часа, после чего в течение 2 суток 12 часов звезда сохраняет постоянный блеск, а затем весь цикл повторяется снова. Гудрайк весьма точно определил период изменения блеска звезды — 2 суток 20 часов 49 минут, что лишь на 3 минуты отличается от современного значения. Но самое главное состояло в том, что Гудрайк правильно объяснил наблюдавшееся им явление: он предположил, что здесь происходит затмение одной звезды (яркой) другой (тёмной), обращающейся вокруг первой. Звёзды типа Алголя получили название затменных переменных.

Гипотеза Гудрайка подтвердилась спустя сто лет.

В 1880 г. американский астроном Э. Пикеринг показал, как из наблюдений Алголя (и других открытых к тому времени затменных переменных звёзд) можно определить отношение размеров обеих звёзд: главной звезды Алголя A и звезды-спутника Алголя B. Через 9 лет, в 1889 г. немецкий астроном Г. Фогель обнаружил смещение линий спектра Алголя то к фиолетовому, то к красному концу спектра с периодом, равным периоду изменения блеска звезды. На основании принципа Доплера‍ это означало, что звезда то приближается к нам, то удаляется, т. е. обращается по орбите вокруг центра масс системы. Это окончательно подтвердило гипотезу Гудрайка.

Сейчас известно несколько тысяч затменных переменных звёзд. Большие заслуги в их исследовании принадлежат русским и советским астрономам.

Посмотрим теперь, какие характеристики затменной звезды можно получить, наблюдая изменение её блеска.

Вот перед нами кривая типичной звезды типа Алголя (рис. 1, а). Поскольку минимум — острый, без участка постоянного блеска, мы здесь наблюдаем частное затмение (т. е. закрывается только часть поверхности главной звезды (рис. 1, б)). Нетрудно подсчитать, какая именно часть звезды закрывается. Будем считать, что диск главной звезды — равномерно яркий, а орбита тёмной звезды — круговая. Условимся обозначать блеск звезды вне затмения через $L_0$‍,‍ а в период максимального затмения — через $l$‍.‍

По кривой блеска звезды мы можем определить амплитуду изменения блеска — $\Delta m$‍‍ (если вне затмения звезда светит как звезда $m_1$‍‍-й звёздной величины, а в затмении — как звезда $m_2$‍‍-й звёздной величины, то $\Delta m=m_2-m_1$‍).‍ По определению $$ \Delta m=2{,}5\log\dfrac{L_0}l=-2{,}5\log\dfrac l{L_0}.\tag1 $$

Но отношение $\dfrac l{L_0}$‍‍ равно отношению площади $S$‍‍ незакрытой части диска звезды в период максимального затмения ко всей площади диска $S_0$‍,‍ т. е. $$ \Delta m=-2{,}5\log\dfrac S{S_0}.\tag2 $$

Сделаем здесь некоторые пояснения. Назовём поверхностной яркостью энергию излучения единицы поверхности звезды в единице телесного угла. Блеск $L$‍‍ и яркость $B$‍‍ связаны соотношением $L=B\cdot S$‍,‍ где $S$‍‍ — поверхность диска звезды. Так как по нашему предположению $B=\text{const}$‍,‍ значит, $\dfrac l{L_0}=\dfrac S{S_0}$‍,‍ откуда и следует равенство (2).

Для Алголя, у которого $\Delta m=1{,}27$‍,‍ по формуле (2) находим $\log\dfrac S{S_0}\approx-0{,}51$‍,‍ т. е. $\dfrac S{S_0}\approx0{,}3$‍.‍ При максимальном затмении (главный минимум на кривой блеска) закрывается 70% площади диска главной звезды.

В дальнейшем выяснилось, что кроме главного минимума ($\Delta m_1=1{,}27$‍)‍ у Алголя через полпериода наступает вторичный минимум, когда его блеск падает лишь на $\Delta m_2=0{,}06$‍‍ звёздной величины (рис. 2, а). Это означает, что спутник в системе Алголя не совсем тёмный, а излучает немного света, и когда его частично закрывает главная звезда, блеск системы несколько ослабевает. Поскольку геометрическая картина обоих затмений совершенно симметрична относительно центра главной звезды независимо от угла наклона орбиты к лучу зрения, очевидно, что закрываемая площадь диска спутника в точности равна закрываемой в главном минимуме площади диска главной звезды (см. рис. 2, б). Но тогда по соотношению амплитуд потери блеска в главном и вторичном минимуме ($\Delta m_1$‍‍ и $\Delta m_2$‍)‍ и соответствующих им значений блеска ($l_1$‍‍ и $l_2$‍)‍ можно найти отношение поверхностных яркостей обеих звёзд ($B_1$‍,‍ $B_2$‍).‍ Примем для простоты блеск системы вне затмения за единицу ($L_0=1$‍);‍ тогда из (1) будем иметь: $$ \begin{aligned} \Delta m_1&=-2{,}5\log l_1;&\log l_1&=-0{,}4\,\Delta m_1;&l_1&=10^{-0{,}4\,\Delta m_1};\\ \Delta m_2&=-2{,}5\log l_2;&\log l_2&=-0{,}4\,\Delta m_2;&l_2&=10^{-0{,}4\,\Delta m_2}. \end{aligned}\tag*{\(\bigg\}\) (3)} $$

Потери блеска в главном и вторичном минимумах будут равны $1-l_1$‍‍ и $1-l_2$‍‍ соответственно (мы ведь положили $L_0=1$‍).‍ Но так как закрытые при затмениях площади дисков обеих звёзд равны, поверхностные яркости закрываемых звёзд относятся как потери блеска в соответствующих минимумах: $$ \dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{1-l_1}{1-l_2}=\dfrac{1-10^{-0{,}4\,\Delta m_1}}{1-10^{-0{,}4\,\Delta m_2}}.\tag4 $$ Подставив $\Delta m_1=1{,}27$‍‍ и $\Delta m_2=0{,}06$‍,‍ найдём для Алголя $\dfrac{B_1}{B_2}=12{,}7$‍,‍ т. е. поверхность главной звезды почти в 13 раз ярче, чем поверхность спутника.

Зная отношение яркостей главной звезды и звезды-спутника, можно найти отношение температур обеих звёзд. Экспериментально было установлено, что излучение с единицы поверхности светящихся тел пропорционально четвёртой степени их температуры‍. В нашем случае излучение с единицы поверхности — это поверхностная яркость звёзд. Следовательно, мы можем записать: $$ B_1=\sigma T_1^4,\quad B_2=\sigma T_2^4,\tag5 $$ где $B_1$‍,‍ $B_2$‍‍ и $T_1$‍,‍ $T_2$‍‍ — поверхностные яркости и абсолютные температуры главной звезды и звезды-спутника, $\sigma$‍‍ — постоянная величина. Из соотношений (5) следует, что $$ \dfrac{T_1}{T_2}=\!\sqrt[\scriptstyle4~]{\dfrac{B_1}{B_2}}.\tag6 $$

Для звёзд системы Алголя $$ \dfrac{T_1}{T_2}=\!\sqrt[\scriptstyle4~]{12{,}7}\approx1{,}89. $$ Температуру главной звезды можно определить, изучая её спектр, а точнее — распределение яркости вдоль спектра. Было установлено, что положение максимума энергии излучения, соответствующего длине волны $\lambda_{\text{max}}$‍,‍ меняется при изменении температуры светящегося тела. При увеличении температуры тела максимум излучения смещается всё дальше в область коротких волн. Таким образом, $$ \lambda_{\text{max}}\cdot T=b, $$ где $T$‍‍ — абсолютная температура тела, $b$‍‍ — постоянная величина. Определив из наблюдений спектра звезды $\lambda_{\text{max}}$‍‍ и зная $b$‍,‍ мы можем найти абсолютную температуру светящегося тела $T$‍.‍ Для главной звезды системы Алголя $T\approx12\,800$‍‍ К; зная эту величину, можно найти абсолютную температуру звезды-спутника. Она равна 6800 К. (Спектр излучения звезды-спутника очень слабый и к тому же накладывается на спектр главной звезды.)

Мы уже говорили о том, что в спектре Алголя было обнаружено смещение линий то к фиолетовому, то к красному концу спектра с периодом $T$‍,‍ равным периоду $P$‍‍ изменения блеска звезды. Это значит, что звезда то приближается к нам, то удаляется от нас, обращаясь по орбите вокруг центра масс системы с периодом $T=P$‍.‍

Согласно принципу Доплера скорость наибольшего приближения или удаления главной звезды $\Delta v$‍,‍ длина волны линии спектра $\lambda$‍‍ и её смещение $\Delta\lambda$‍‍ связаны соотношением $$ \dfrac{\Delta\lambda}\lambda=\dfrac{\Delta v}c,\tag7 $$ где $c$‍‍ — скорость света. Определив из наблюдений спектра звезды изменение длины волны при смещении линии, можно найти по формуле (7) скорость движения главной звезды по орбите. Для Алголя было найдено, что $\Delta v\approx46$‍‍ $\dfrac{\text{км}}{\text{с}}$‍.‍ Эта величина равна орбитальной скорости $v$‍.‍

Теперь, зная период $T=P\approx 68$‍‍ ч 52 мин, можно определить радиус орбиты звезды: $$ R_1=\dfrac{T\cdot v}{2\pi}\approx 1{,}86~\text{(млн. км)}. $$

Радиус орбиты Алголя почти в 5 раз больше радиуса орбиты Луны.

Если в спектре звезды видны спектральные линии не только яркого, но и слабого компонента (звезды-спутника), то можно таким же точно путём найти радиус орбиты спутника $R_2$‍.‍ Для спутника Алголя (Алголь B) было найдено $R_2=8{,}54$‍‍ млн. км. Таким образом, радиус относительной орбиты, т. е. орбиты спутника относительно главной звезды равен $R=R_1+R_2=10{,}4$‍‍ млн. км.

Зная радиус относительной орбиты и период обращения, мы можем по третьему закону Кеплера определить сумму масс обеих звёзд. В обобщённой форме (выведенной Ньютоном) третий закон Кеплера имеет такой вид: $$ \dfrac{T_1^2(M_1+M_2)}{T_2^2(M_3+M_4)}=\dfrac{a_1^3}{a_2^3}.\tag8 $$ Здесь $T_1$‍,‍ $T_2$‍‍ — периоды обращения вокруг центра масс в первой и второй системах тел, $a_1$‍,‍ $a_2$‍‍ — большие полуоси орбит, $M_1$‍,‍ $M_2$‍‍ — массы тел первой системы, $M_3$‍,‍ $M_4$‍‍ — массы тел второй системы. Примем за первую систему — систему Алголя, за вторую — систему «Солнце⁠—⁠Земля», за единицу массы, как это принято в физике звёзд, примем массу Солнца (т. е. положим $M_3=1$‍),‍ а массой Земли пренебрежём ($M_4=0$‍);‍ большие полуоси заменим радиусами круговых орбит. Тогда получим: $$ M_1+M_2=\left(\dfrac R{R'}\right)^3\cdot\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^2. $$

Подставляя $T_1=2{,}87$‍‍ суток, $T_2=365{,}24$‍‍ суток, $R'=149,6$‍‍ млн. км и найденное выше значение $R=10{,}4$‍‍ млн. км, получим $M_1+M_2=5{,}4$‍,‍ т. е. сумма масс обеих звёзд системы Алголя в 5,4 раза превышает массу Солнца.

Чтобы определить массу каждой звезды в отдельности, вспомним, что расстояния двух тел от центра их масс обратно пропорциональны массам. Значит, $$ \dfrac{M_1}{M_2}=\dfrac{R_2}{R_1}.\tag9 $$

В случае системы Алголя $\dfrac{M_1}{M_2}=\dfrac{8{,}54}{1{,}86}=4{,}6$‍.‍ По сумме и отношению масс находим $M_1=4{,}55$‍,‍ $M_2=0{,}95$‍.‍ Итак, звезда-спутник имеет массу, почти равную солнечной, а главная звезда — массу примерно в 4,5 раза больше солнечной.

Анализ кривой блеска позволяет не только найти радиусы орбит звёзд, но и определить элементы орбиты: её наклон к лучу зрения, эксцентриситет, положение плоскости орбиты в пространстве. Метод определения элементов орбиты затменной переменной звезды по кривой её блеска был разработан в 1912 г. американским астрономом Г. Ресселом‍. Вот основы этого весьма остроумного метода.

Предположим, что мы наблюдаем затмение звезды (рис. 3, б). Пока главная звезда закрыта целиком, блеск системы изменяться не будет. В этом случае главный минимум на кривой блеска (рис. 3, а) будет плоским. Во вторичном минимуме произойдёт кольцеобразное затмение (рис. 3, б; малая звезда впереди) и он тоже будет плоским. Обозначим блеск звезды в любой момент затмения, пока оно не полное (или не кольцеобразное), через $l$‍,‍ блеск в главном минимуме — через $l'$‍,‍ блеск во вторичном минимуме — через $l''$‍.‍ Блеск звезды вне затмения примем за единицу. Тогда потери блеска будут равны соответственно $1-l$‍,‍ $1-l'$‍‍ и $1-l''$‍.‍

Положение спутника на орбите относительно направления на Землю в каждый момент времени $t$‍‍ определяется углом фазы $\theta$‍‍ (см. рис. 4), который равен $$ \theta=\dfrac{360^\circ}P(t-t_0), $$ где $t_0$‍‍ — момент времени, соответствующий середине главного минимума на кривой блеска (см. рис. 3, а), $P$‍‍ — период обращения спутника, равный периоду изменения блеска. В момент $t=t_0$‍‍ угол фазы $\theta=0$‍.‍ Для упрощения расчётов положим $t_0=0$‍,‍ т. е. счёт времени будем вести от середины главного минимума. Примем радиус относительной орбиты за единицу ($R=1$‍)‍ и обозначим отношение радиуса меньшей звезды к радиусу большей через $k$‍‍ $\left(k=\dfrac{r_2}{r_1}\right)$‍.‍ Пусть орбита спутника наклонена к картинной плоскости‍ под углом $i$‍‍ (очевидно, что он близок к $90^\circ$‍,‍ иначе мы не увидели бы затмения). Нам нужно определить три неизвестных: $r_1$‍,‍ $r_2$‍,‍ $i$‍.‍

Из кривой блеска мы можем для каждого момента времени определить фотометрическую фазу затмения, равную отношению потери блеска в данный момент времени к потере блеска в главном минимуме: $$ \alpha=\dfrac{1-l}{1-l'}.\tag{11} $$

Из определения $\alpha$‍‍ видно, что $\alpha$‍‍ есть функция угла фазы $\theta$‍.‍ Именно по известной из наблюдений зависимости $\alpha(\theta)$‍‍ мы и определим величины $r_1$‍,‍ $r_2$‍,‍ $i$‍.‍

Легко видеть, что фотометрическая фаза $\alpha$‍‍ однозначно зависит от трёх величин: от расстояния $d$‍‍ между центрами дисков обеих звёзд ($AB$‍‍ на рис. 5) и от их радиусов $r_1$‍,‍ $r_2$‍‍ (или от одного из них, $r_1$‍,‍ и их отношения $k$‍).‍ Численно она равна отношению площади двойного сегмента $CDEF$‍‍ к площади диска меньшей звезды, т. е. к площади круга с центром в $A$‍‍ (рис. 5). Как же найти расстояние между центрами $d$‍?‍

Если бы плоскость орбиты проходила через луч зрения ($i=90^\circ$‍),‍ то было бы $d=a\cdot\sin\theta$‍.‍ Но так как орбита имеет наклон $i\ne90^\circ$‍,‍ величина $d$‍‍ будет функцией двух углов: $i$‍‍ и $\theta$‍,‍ из которых нам известен только второй ($\theta$‍).‍ Хотя формула, выражающая связь $d$‍‍ с $i$‍‍ и $\theta$‍,‍ несложна, мы не будем здесь её выводить, чтобы избежать громоздких выкладок, а запишем её в неявном виде: $$ d=f_1(i,\theta).\tag{12} $$

Кроме того, согласно сказанному выше, $$ d=f_2(\alpha,k,r_1).\tag{13} $$

Таким образом, мы имеем как будто лишь два уравнения с четырьмя неизвестными $d$‍,‍ $i$‍,‍ $k$‍,‍ $r_1$‍.‍ Исключив $d$‍,‍ мы получим одно уравнение с тремя неизвестными $i$‍,‍ $k$‍,‍ $r_1$‍.‍

Но в нашем распоряжении не одна точка на кривой блеска, а много. Выбрав три точки, мы получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, которую можно решить и получить величины $i$‍,‍ $k$‍,‍ $r_1$‍‍ (значит, и $r_2=kr_1$‍).‍

В методе Рессела две точки выбираются фиксированными (они соответствуют $\alpha=0{,}6$‍‍ и $\alpha=0{,}9$‍),‍ а третья точка — «скользящая», т. е. в качестве третьей точки по очереди выбираются многие точки на кривой блеска. Из получаемых 10⁠—⁠20 решений для неизвестных берутся средние значения. Таким образом, в решении участвует как бы вся кривая блеска.

Зная радиусы обеих звёзд в долях радиуса орбиты $R$‍‍ (мы полагали $R=1$‍),‍ мы можем затем найти абсолютные радиусы, а по ним — объёмы. Поделив массы звёзд на их объёмы, мы найдём средние плотности звёзд.

Если затмение не полное, а частное, решение будет более сложным, но метод Рессела позволяет достичь успеха и в этом случае.

Для выбранного нами примера — системы Алголя — $r_1=2{,}0$‍‍ млн. км, $r_2=2{,}0$‍‍ млн. км. Зная размеры и массы, мы легко найдём средние плотности обеих звёзд $\rho_1=0{,}1$‍‍ $\dfrac{\text{г}}{\text{см}^3}$‍,‍ $\rho_2=0{,}06$‍‍ $\dfrac{\text{г}}{\text{см}^3}$‍.‍

Итак, из анализа кривой блеска затменной переменной звезды Алголь, использовав также спектральные наблюдения, мы узнали о ней следующее: размеры и угол наклона орбиты к картинной плоскости, скорости обеих звёзд на орбитах, их массы, температуры, радиусы, плотности.

Но это ещё не всё.

Многолетние наблюдения обнаружили периодические колебания периода изменения блеска Алголя. Это удалось объяснить возмущениями со стороны третьего компонента этой системы — звезды Алголь C, которая имеет массу $M_3=1{,}3M_{\text{С}}$‍‍ ($M_{\text{С}}$‍‍ — масса Солнца) и период обращения вокруг центра масс системы 1,873 года. На основании третьего закона Кеплера находим, что радиус орбиты Алголя C (относительно Алголя A) в 38 раз больше радиуса орбиты Алголя B, т. е. равен 400 млн. км (на таком расстоянии от Солнца движутся некоторые астероиды).

У некоторых звёзд вторичный минимум на кривой блеска расположен не посередине между двумя главными, а смещён в сторону (рис. 6, а). Это означает, что орбита спутника — не круговая, а эллиптическая (рис. 6, б). Вблизи периастра — самой близкой точки орбиты к главной звезде — спутник, на основании второго закона Кеплера, движется быстрее, чем вблизи апоастра — самой далёкой точки орбиты.

Любопытное явление было обнаружено при наблюдении звезды RU Единорога, открытой в начале нашего века русской исследовательницей переменных звёзд Л. П. Цераской. Вторичный минимум кривой блеска этой звезды постепенно перемещался между главными. Советские учёные А. Д. Дубяго и Д. Я. Мартынов, изучавшие эту звезду, объяснили наблюдаемое явление вращением эллиптической орбиты звезды в своей плоскости. Позже были обнаружены и другие звёзды, у которых орбита поворачивается.

У некоторых звёзд блеск между главными минимумами не остаётся постоянным — блеск звезды после затмения продолжает расти, пока не наступает вторичное затмение (затмение спутника); после вторичного минимума блеск постепенно убывает (рис. 7, а). Здесь проявляется эффект отражения: более слабая звезда отражает свет яркой и при этом меняет свои фазы (подобно Луне)‍. Вблизи вторичного минимума слабая звезда имеет почти полную фазу (как Луна в полнолуние) и общий блеск системы возрастает (рис. 7, б).

Иногда затмевающая звезда имеет протяжённую атмосферу, и тогда ослабление блеска начинается ещё задолго до затмения (рис. 8).

В заключение нашего знакомства с затменными переменными звёздами скажем только, что производить их наблюдения может каждый желающий, располагающий призматическим биноклем. Как это сделать, описано в книгах:

В. П. Цесевич. Переменные звёзды и способы их исследования. — М.: Педагогика, 1970.

В. П. Цесевич. Что и как наблюдать на небе. — Изд. 3-е. — М.: Физматгиз, 1963.

Н. Е. Курочкин. Инструкция для наблюдения переменных звёзд. — М.: Наука, 1963.

Приложение. Вывод обобщённого закона Кеплера

В результате долгой и кропотливой обработки наблюдений положений планеты Марс за 24 года известный немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571⁠—⁠1630) вывел свои три закона движения планет. III закон был им получен в такой форме: $$ \dfrac{T_1^2}{T_2^2}=\dfrac{a_1^3}{a_2^3}, $$ что означает: квадраты времён обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит (или, что то же самое, их средних расстояний от Солнца).

Позже Ньютон вывел законы Кеплера теоретически, как прямые следствия открытого им закона всемирного тяготения. Вывод этот требует знания дифференциального и интегрального исчисления и для читателей «Кванта» сложен. Но если ограничиться круговыми орбитами, этот вывод становится доступным школьнику. Вот он.

Планета притягивается Солнцем с силой $F=k\dfrac{Mm}{R^2}$‍,‍ где $R$‍‍ — расстояние между планетой и Солнцем, $M$‍‍ — масса Солнца, $m$‍‍ — масса планеты, $k$‍‍ — постоянная тяготения.

От силы перейдём к ускорению, которое Солнце сообщает планете: $g_1=\dfrac Fm=k\dfrac M{R^2}$‍.‍

Но так как притяжение — взаимное, то и Солнце под действием планеты получит ускорение, направленное в противоположную сторону: $g_2=-\dfrac FM=-k\dfrac m{R^2}$‍.‍

Найдём теперь ускорение относительного движения (планеты относительно Солнца). Оно будет равно разности двух предыдущих ускорений: $g=g_1-g_2=\dfrac{k(M+m)}{R^2}$‍.‍ Приравняем его центростремительному ускорению: $$ \dfrac{k(M+m)}{R^2}=\dfrac{v^2}R.\tag1 $$ Но скорость движения планеты по круговой орбите равна длине орбиты, поделённой на время обращения $T$‍:‍ $$ v=\dfrac{2\pi R}T