Гастев Ю. А.

‍,

Смолянский М. Л.

Несколько слов о Великой теореме ФермаГастев Ю. А., Смолянский М. Л. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант. — 1972. — № 8. — С. 23⁠—⁠25.‍‍

Да, ничего не скажешь — зло подшутил Саймон Флэгг над дьяволом! Трудно, конечно, сказать, чем вся эта история ещё кончится: существо (мы чуть было не сказали «человек»), способное за сутки пройти большую часть курса физмата, может оказаться и незаурядным математиком! Но всё это — пока, во всяком случае — в области догадок и шуток. На сегодняшний день Великая теорема Ферма служит своего рода эталоном математической проблемы, сочетающей поразительную простоту формулировки с не менее поразительной трудностью решения — так и не найденного за более чем трёхсотлетнюю свою историю.

Надо сказать, что «Великая теорема» — далеко не единственная проблема, завещанная Пьером Ферма (1601⁠—⁠1665) потомкам: как замечают Р. Курант и Г. Роббинс‍, «он не затруднял себя тем, чтобы приводить тут же доказательства многих высказанных им теорем». В этом, конечно, ничего особенно удивительного нет. Достаточно всдомнить, что в XVII веке не было ни столь многочисленных в наши дни научных обществ, устраивающих всякого рода конференции, съезды, конгрессы, симпозиумы, семинары, коллоквиумы и прочие прекрасные начинания, ни ещё более многочисленных научных журналов, редакционные портфели которых набиты статьями зачастую на пару лет вперёд. Математические работы, конечно, печатались и тогда — но это были, главным образом, учебные руководства или монографии, посвящённые целому разделу науки. Что же касается отдельных теорем или серий теорем, то, прежде чем найти себе достойное место в очередной монографии, они чаще всего приводились просто в частной переписке учёных, бывшей в то время основным (и почти единственным) видом научных контактов. В архивах учёных того времени сохранились сотни писем, которые по современным представлениям были (если не считать таких мелочей, как обращения и подписи) самыми настоящими научными статьями.

Но Ферма ведь к тому же и не был «профессиональным» математиком! Для этого тулузского юриста математика была не основным занятием, а, как сейчас принято говорить, «хобби». В научном наследстве Ферма, наряду с работами, в которых были заложены основы ряда новых математических дисциплин (все эти работы были напечатаны уже после смерти автора), и перепиской с современниками (особенно интенсивно переписывался он с Мераном Мерсенном) сохранилось большое число заметок, сделанных на полях книг, которые он читал. И, конечно, именно в таких заметках он подчас «не затруднял себя» подробными доказательствами — попросту из-за недостатка места. Впоследствии все сформулированные Ферма теоремы, доказательства которых до нас не дошли, были доказаны — все, кроме одной. Той самой, о которой идёт речь в рассказе Порджеса.

Быть может, именно потому, что это исключение оказалось единственным, что все прочие утверждения Ферма удавалось рано или поздно доказать, жившие после него математики никак не могли смириться с мыслью, что на этот раз Ферма ошибся. Ведь этот блистательный «любитель», один из создателей аналитической геометрии и теории чисел, теории вероятностей и геометрической оптики, — нигде и никогда в других случаях не высказывал неверных утверждений. А «Великая теорема» к тому же так просто формулируется...

Формулировка эта будет особенно выразительной, если мы вначале напомним одну значительно более простую задачу. Назовём, как обычно, пифагоровой тройкой тройку целых чисел $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ удовлетворяющих уравнению $$ a^2+b^2=c^2. $$ Разумеется, из любой пифагоровой тройки $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ можно получить бесконечное множество других пифагоровых троек, умножая её члены на любое натуральное число: если $a^2+b^2=c^2$‍,‍ то, конечно $(ar)^2+(br)^2=(cr)^2$‍.‍ Пээтому разумной представляется задача отыскания всех примитивных пифагоровых троек, т. е. таких пифагоровых троек, члены которых не имеют общих множителей.

Задача эта решается довольно просто. Пусть целые положительные числа $a$‍,‍ $b$‍‍ и $c$‍‍ удовлетворяют соотношению $a^2+b^2=c^2$‍.‍ Полагая $\dfrac ac=x$‍‍ и $\dfrac bc=y$‍,‍ получим, что $x^2+y^2=1$‍‍ ($x$‍‍ и $y$‍‍ — рациональные числа). Отсюда $y^2=(1-x)(1+x)$‍‍ или $\dfrac y{1+x}=\dfrac{1-x}y$‍.‍ Общее (рациональное) значение двух последних соотношений обозначим через $t=\dfrac uv$‍.‍ Тогда $y=t(1+x)$‍‍ и $1-x=ty$‍,‍ откуда $tx-y=-t$‍,‍ $x+ty=1$‍.‍

Из этих равенств в свою очередь следует, что $$ x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\quad y=\dfrac{2t}{1+t^2}, $$ или, подставляя $\dfrac ac$‍‍ вместо $x$‍,‍ $\dfrac bc$‍‍ вместо $y$‍‍ и $\dfrac uv$‍‍ вместо $t$‍,‍ получим $$ \dfrac ac=\dfrac{v^2-u^2}{u^2+v^2},\quad\dfrac bc=\dfrac{2uv}{u^2+v^2}. $$

Или: $a=(v^2-u^2)r$‍,‍ $b=2uvr$‍,‍ $c=(u^2+v^2)r$‍,‍ где $r$‍‍ есть некоторый рациональный коэффициент пропорциональности. Если, далее, предположить, что $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ взаимно просты, то легко получается, что они удовлетворяют соотношениям $a=v^2-u^2$‍,‍ $b=2uv$‍,‍ $c=u^2+v^2$‍,‍ где $u$‍‍ и $v$‍‍ — целые положительные числа, взаимно простые и не являющиеся одновременно нечётными. (Формулы эти, известные ещё математикам Древней Индии, часто называют «формулами индусов».)

И уже совсем легко показать (сделайте это самостоятельно), что числа $a$‍,‍ $b$‍‍ и $c$‍‍ удовлетворяют соотношению $a^2+b^2=c^2$‍.‍

Более чем естественно попытаться обобщить задачу о разыскании пифагоровых троек, рассматривая уравнения $a^3+b^3=c^3$‍,‍ $a^4+b^4=c^4$‍‍ и вообще $a^n+b^n=c^n$‍‍ и ставя вопрос о возможности решения их в целых положительных числахю Именно в связи с рассмотрением пифагоровых троек Ферма сделал в книге Диофанта Александрийского замечание, что

при $n\gt2$‍‍ уравнение $a^n+b^n=c^n$‍‍ неразрешимо в целых числах;

но что найденное им остроумное доказательство этого факта слишком длинно для того, чтобы поместить его на полях этой книги... Сейчас большинство математиков довольно-таки скептически относятся к этому заявлению Ферма. Во всяком случае, в последующих его работах для упоминаемого им «остроумного доказательства» места не нашлось, хотя самой задачей он продолжал заниматься и даже решил её для частного случая $n=4$‍,‍ разработав для этого специальный метод — так называемый метод спуска.

Леонард Эйлер (1707⁠—⁠1783) доказал Великую теорему Ферма для случаев $n=3$‍,‍ 4, 5 7.

Самый крупный вклад в решение проблемы Ферма связан с именем немецкого математика Эрнста Куммера (1810⁠—⁠1893).

Можно показать (при помощи элементарных рассуждений), что для доказательства теоремы Ферма достаточно рассматривать уравнения вида $a^p+b^p=c^p$‍,‍ где $p$‍‍ — простое число, а $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ — целые, но не обязательно положительные, числа.

Куммер доказал, что уравнение $a^p+b^p=c^p$‍‍ не допускает решения в целых (отличных от нуля) числах для всех простых показателей $p$‍,‍ удовлетворяющих некоторому условию «регулярности», в частности, для всех $3\lt p\lt100$‍.‍ До сих пор не известно, бесконечно ли множество всех регулярных чисел, но заведомо бесконечным является множество иррегулярных чисел, т. е. чисел, для которых куммеровское доказательство не проходит.

Однако главное значение работ Куммера, посвящённых Великой теореме Ферма, состоит в том, что Куммер «попутно» развил совершенно новую и важную отрасль теории чисел — так называемую теорию алгебраических чисел. Упоминаемые в рассказе Порджеса «идеальные числа», так же как и результаты о неединственности разложения на простые множители, свидетельствуют о том, что дотошный Саймон Флэгг заставил-таки дьявола проштудировать как следует работы Куммера.

В самые последние годы получил развитие геометрический подход к проблематике, связанной с Великой теоремой Ферма. Исходными здесь являются следующие соображения. Если уравнение $x^p+y^p=z^p$‍‍ имеет целочисленное решение, причём $z\ne0$‍,‍ то уравнение $\left(\dfrac xz\right)^p+\left(\dfrac yz\right)^p=1$‍‍ имеет решение в рациональных числах, и наоборот. Об уравнении $x^p+y^p=1$‍‍ можно говорить как об уравнении некоторой кривой на плоскости $xOy$‍‍ (подобно тому, как уравнение $x+y=1$‍‍ задаёт прямую, уравнение $x^2+y^2=1$‍‍ — окружность и т. п.), а о его решении в рациональных числах — как о точке кривой с рациональными координатами (короче: рациональной точке). Следует сразу отметить, что на кривой $x^p+y^p=1$‍‍ есть рациональные точки; простой пример — точка $(0,1)$‍;‍ это соответствует очевидным решениям уравнения Ферма. Но здесь напрашивается следующее ослабление теоремы Ферма: является ли множество рациональных точек кривой $x^p+y^p=1$‍‍ конечным? Конечно, такой вопрос можно поставить не только для «кривых Ферма», но и для любых других кривых. Окружность содержит бесконечное множество рациональных точек, причём их описание как раз и даётся «формулами индусов». Бесконечны множества рациональных точек на нексторых так называемых эллиптических кривых, определяемых уравнениями третьей степени, например, на кривых $y^2=x^3+1$‍,‍ $x^3+y^3=7$‍.‍

Что же касается уравнений степени выше четвёртой, то на определяемых ими кривых до сих пор удавалось обнаружить лишь конечные множества рациональных точек, что и дало Л. Дж. Морделлу повод высказать гипотезу о том, что так обстоит дело для всех кривых выше четвёртой степени‍. Доказательство гипотезы Морделла (пока упорно не поддающейся решению) означало бы конечность числа решений уравнения Ферма $x^p+y^p=z^p$‍.‍ Как и по отношению к куммеровским методам, о геометрическом подходе к теореме Ферма можно сказать, что, независимо от успеха в решении самих по себе исходных задач, всё это направление в целом сулит интересные новые результаты в теории чисел.

Наконец, имеется и в корне отличный от всех предыдущих подход к гипотезе Ферма: ни из чего не следует, что положительное или отрицательное её решение вообще может быть выведено из аксиом арифметики натуральных чисел! Иными словами, утверждение, содержащееся в Великой теореме Ферма, может оказаться алгорифмически неразрешимым, и успехи в доказательстве алгорифмической неразрешимости ряда теоретико-ҹисловых задач‍ заставляют всё более серьёзно задумываться и над такой возможностью (хотя прямых путей к её выявлению также пока не видно)...

Как же обетоит дело с проблемой Ферма на сегодняшний день?‍ Несмотря на то, что гипотеза Ферма доказана для большого числа частных случаев (например, для всех $n\lt619$‍),‍ в полном своём виде она также далека от решения, как и триста лет назад. Опыт развития математики с тех пор со всей очевидностью показал полную беспочвенность надежд на «элементарное» доказательство Великой теоремы Ферма — надежд, столь, увы, соблазнительных для людей, любящих не столько математику, сколько успех в математике. Правда, «ферматисты» успехом не избалованы; люди они, как правило, несчастные, и мы со всей серьёзностью хотели бы предостеречь наших юных читателей от такой карьеры. Быть может, нелишним будет ещё раз процитировать здесь книгу Куранта и Роббинса (стр. 67): «...Проблема вызвала большой интерес и в более широких кругах — отчасти благодаря премии размером в $100\,000$‍‍ марок, предназначенной для лица, которое впервые даст решение, причём присуждение премии было поручено Гёттингенской Академии. Пока послевоенная инфляция в Германии не свела на нет денежную ценность этой премии, ежегодно представлялось громадное число «решений», содержащих ошибки... Со времени падения курса марки ажиотаж около проблемы Ферма несколько приутих; и всё же время от времени пресса не перестаёт осведомлять нас о том, что «решение» найдено каким-нибудь новоявленным «гением».

---

От редакции

Редакция «Кванта» со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут.