Силаева Н. А.

Фигуры ЛиссажуСилаева Н. А. Фигуры Лиссажу // Квант. — 1972. — № 7. — С. 23⁠—⁠28.‍‍

В «Кванте» №1 за 1972 год мы уже рассказывали об опытах с одним из самых простых физических приборов — маятником‍. В этой статье мы расскажем ещё о нескольких опытах, которые вы можете провести у себя дома.

Самые простые колебания тела — это колебания, при которых отклонение $x$‍‍ тела от положения равновесия изменяется по закону $$ x=a\sin(\omega t+\phi), $$ где $a$‍‍ — амплитуда, $\omega$‍‍ — частота, $\phi$‍‍ — начальная фаза колебаний.

Такие колебания называются гармоническими. Гармонические колебания совершают математический маятник, грузик на пружине, напряжение в электрическом контуре.

В этой статье мы рассмотрим случай, когда тело участвует одновременно в двух гармонических колебаниях. Если оба колебания происходят вдоль одной прямой, то уравнение движения тела будет представлено суммой уравнений двух движений: $$ x=A_1\sin(\omega_1t+\phi_1)+A_2\sin(\omega_2t+\phi_2). $$

Нетрудно построить график смещения тела от положения равновесия в зависимости от времени. Для этого нужно сложить ординаты кривых, соответствующих первому и второму движениям. На рисунке 1 показан пример сложения двух гармонических колебаний (чёрные синусоиды). Красная линия соответствует результирующему колебанию. Оно уже не является гармоническим.

Более сложные траектории получаются при сложении колебаний в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Примером такого колебания может служить движение тела, изображённого на рисунке 2. В этом случае вид траекторий зависит от соотношения частот, амплитуд и фаз взаимно перпендикулярных колебаний. Эти траектории называют фигурами Лиссажу, по имени французского физика Лиссажу, который в 1863 году впервые описал их. Установка, использованная Лиссажу, показана на рисунке 3. Камертон $T'$‍‍ колеблется в горизонтальной плоскости, камертон $T$‍‍ — в вертикальной. Луч света проходит через линзу и попадает на зеркальце, прикрёпленное к камертону $T'$‍,‍ отражается им, попадает на зеркальце, прикреплённое к камертону $T$‍,‍ и после вторичного отражения попадает на экран. При колебании только одного камертона светлое пятно на экране колеблется вдоль прямой линии. Если колеблются оба камертона, пятно может описывать замысловатые траектории.

Траектория движения тела в том случае, когда оно одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, описывается системой уравнений $$ \begin{array}{l} x=A_1\sin(\omega_1t+\phi_1),\\ y=A_2\sin(\omega_2t+\phi_2), \end{array}\tag1 $$ где $x$‍‍ и $y$‍‍ — проекции смещения тела на оси $X$‍‍ и $Y$‍.‍

Допустим для простоты, что $\phi_1=\phi_2=0$‍‍ и $\omega_1=\omega_2=\omega$‍.‍ Тогда $$ \begin{array}{l} x=A_1\sin\omega t,\\ y=A_2\sin\omega t. \end{array}\tag2 $$

Это означает, что $y=\dfrac{A_2}{A_1}x$‍;‍ следовательно, соотношения (2) описывают отрезок прямой. Угол наклона $\alpha$‍‍ к оси $X$‍‍ определяется уравнением $$ \tg\alpha=\dfrac{A_2}{A_1}. $$

Пусть теперь $\phi_1=\phi_1'+\dfrac{3\pi}2$‍.‍ Тогда $$ \begin{array}{l} x=A_1\cos(\omega_1t+\phi_1'),\\ y=A_2\sin(\omega_2t+\phi_2) \end{array}\tag3 $$

Разберём сначала самый простой случай, когда $A_1=A_2$‍,‍ $\phi_1'=\phi_2=0$‍‍ и $\omega_1=\omega_2=\omega$‍,‍ т. е. $$ \begin{array}{l} x=A\cos\omega t,\\ y=A\sin\omega t. \end{array}\tag4 $$

Точка с координатами $x$‍‍ и $y$‍,‍ определяемыми этими уравнениями, описывает окружность радиуса $A$‍.‍ Действительно, $x^2+y^2=A^2\cos^2\omega t+A^2\sin^2\omega t=A^2$‍.‍ А это и означает, что траектория движения — окружность.

Пусть теперь $A_1\ne A_2$‍.‍ Построим траекторию движения для случая $A_1=1$‍,‍ $A_2=2$‍.‍ В момент максимального отклонения $x=A_1=1$‍,‍ т. е. $\cos\omega t=1$‍,‍ $\omega t=0$‍‍ и, следовательно, $y=2\sin\omega t=0$‍.‍ Аналогично, при $x=0$‍‍ $y=2$‍,‍ при $x=\dfrac{\sqrt2}2$‍‍ $y=\sqrt2$‍‍ и т. д.

Построив по этим координатам график, мы получим эллипс, большая полуось которого равна $A_2$‍,‍ а малая — $A_1$‍,‍ т. е. эллипс вытянут по оси $y$‍‍ (рис. 4, а)‍. Нетрудно показать, что при $A_1=2$‍‍ и $A_2=1$‍‍ мы получим эллипс, вытянутый по оси $X$‍‍ (рис. 4, б).

Таким образом, ясно, что, меняя соотношение амплитуд, можно получать различные эллипсы.

Пусть теперь $\omega_1=2\omega$‍,‍ $\omega_2=\omega$‍,‍ $\phi_1'=0$‍‍ и $\phi_2=0$‍.‍ Тогда система уравнений (3) приобретает вид $$ \begin{array}{l} x=A_1\cos2\omega t,\\ y=A_2\sin\omega t. \end{array} $$ Преобразуем уравнение для $x$‍‍ следующим образом: $$ x=A_1(\cos^2\omega t-\sin^2\omega t)=A_1(1-2\sin^2\omega t)= A_1{\left(1-2\dfrac{y^2}{A_2^2}\right)}. $$

Эта кривая — часть параболы с осью вдоль оси $X$‍‍ и вершиной в точке $x=A_1$‍‍ (рис. 5). Таким образом, мы получили незамкнутую кривую.

Рассмотрим теперь влияние частот на форму траектории, а амплитуды поперечного и продольного колебаний, описываемых системой уравнений (3), возьмём одинаковыми. Построим, например, кривые, соответствующие уравнениям $$ \left\{\begin{array}{l} x=A\cos\omega t,\\ y=A\sin2\omega t, \end{array}\right.\quad \left\{\begin{array}{l} x=A\cos\omega t,\\ y=A\sin4\omega t. \end{array}\right. $$

Сделать это проще всего так. Возьмём окружность радиуса $A$‍‍ (рис. 6), отметим на ней точки, соответствующие углам $\omega t$‍,‍ равным 0, $\dfrac\pi8$‍,‍ $\dfrac\pi4$‍,‍ $\dfrac{3\pi}8$‍,‍ $\dfrac\pi2$‍,‍ $\dfrac{5\pi}8$‍,‍ $\dfrac{3\pi}4$‍,‍ $\dfrac{7\pi}8$‍,‍ $\pi$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $2\pi$‍.‍

Чтобы найти точки с координатами $x=A\cos\omega t$‍‍ и $y=A\sin2\omega t$‍,‍ вспомним, что в случае окружности единичного радиуса ($r=1$‍)‍ $\cos\omega t$‍‍ численно равен проекции радиуса-вектора $r(\omega t)$‍‍ на ось $X$‍,‍ а $\sin\omega t$‍‍ — проекции на ось $Y$‍.‍ Так как мы взяли окружность радиуса $A$‍,‍ то координаты $x$‍‍ и $y$‍‍ каждой точки окружности — это проекции радиусов-векторов этих точек на оси $X$‍‍ и $Y$‍.‍

Для обоих случаев получаются замкнутые кривые, число петель которых соответствует отношению $n=\dfrac{\omega_2}{\omega_1}$‍‍ (рис. 7, а, б).

Фигура, приведённая на рисунке 8, незамкнута. Она соответствует системе уравнений $$ \begin{array}{l} x=\cos2\omega t,\\ y=\sin3\omega t. \end{array} $$

В каком же случае получаются незамкнутые фигуры? Можно ли найти общие закономерности? Рассмотрим уравнения в виде $$ \begin{array}{l} x=A_1\cos p\omega t,\\ y=A_2\sin q\omega t. \end{array} $$

Прежде всего заметим, что в той точке, где кривая поворачивает обратно по той же траектории, скорости тела вдоль осей $X$‍‍ и $Y$‍‍ одновременно обращаются в нуль. Ведь именно в этом случае тело, двигаясь вдоль кривой, останавливается, а затем начинает двигаться обратно. Если $x=A_1\cos p\omega t$‍,‍ то $$ v_x=\dfrac{A_1\cos p\omega t_2-A_2\cos p\omega t_1}{t_2-t_1}= \dfrac{-2A_1\sin\dfrac{p\omega t_2+p\omega t_1}2\sin\dfrac{p\omega t_2-p\omega t_1}2}{t_2-t_1}. $$

Когда $t_2\approx t_1=t$‍‍ (разность $t_2-t_1$‍‍ мала), $\sin\dfrac{p\omega t_2-p\omega t_1}2\approx\dfrac{p\omega t_2-p\omega t_1}2$‍.‍ В результате $$ v_x=-A_1p\omega\sin p\omega t. $$ Аналогично для $v_y$‍‍ получаем $$ v_y=A_2q\omega\cos q\omega t. $$ Посмотрим, когда скорости $v_x$‍‍ и $v_y$‍‍ обращаются в нуль. $$ \begin{gather*} v_x=0{,}~\text{если}~p\omega t=k\pi,\\ v_y=0{,}~\text{если}~q\omega t=\dfrac\pi2+m\pi. \end{gather*} $$

Из этих условий ясно, что фигура Лиссажу получается незамкнутой в тех случаях, когда $$ \dfrac pq=\dfrac{2k}{2m+1}. $$

В частности, кривая на рисунке 8 удовлетворяет этому условию.

Фигуры Лиссажу можно наблюдать на экране осциллографа. На вертикальную развёртку подаётся одно гармоническое колебание, на горизонтальную, — другое. Их сумма может принимать разнообразные формы. Для этого достаточно менять частоту переменного напряжения на обкладках осциллографа.

Каждый из вас может сам сделать очень простое устройство для наблюдения и фотографирования фигур Лиссажу. Возьмите обыкновенную металлическую линейку и изогните её так, чтобы плоскость одной половины линейки была перпендикулярна плоскости второй её половины (см. рис. 9).

Один из концов линейки зажмите в тиски. Если теперь качнуть свободный конец линейки, он будет описывать в воздухе замысловатые фигуры. Это и будут фигуры Лиссажу.

Движение свободного конца линейки складывается из независимых колебаний двух частей линейки. Одна — от тисков до перегиба и вторая — от перегиба до конца. Колебания каждой части перпендикулярны плоскости линейки на этом отрезке. Поскольку угол перегиба линейки равен $\dfrac\pi2$‍,‍ колебания взаимно перпендикулярны. Вид траектории конца линейки зависит от длины и ширины линейки и от того, в каком месте её перегнуть.

Для получения разных фигур можно использовать одну и ту же линейку. Чтобы изменять соотношение частот вертикального и горизонтального колебаний, достаточно зажимать линейку в тиски в разных местах.

Так как частота колебаний зависит от длины линейки, то, меняя соотношения между длинами частей линейки, вы будете менять соотношения между частотами взаимно перпендикулярных колебаний конца линейки. При этом вы будете получать различные траектории конца линейки.

Чтобы сфотографировать получающиеся фигуры, к свободному концу надо прикрепить маленькую лампочку от карманного фонарика. Лампочка проводами, протянутыми вдоль линейки, соединяется с батарейкой (рис. 9). Поместив наш сложный маятник в тёмной комнате, можно сфотографировать колебания линейки. Время экспозиции должно быть достаточно велико. Его вы можете определить, проведя несколько опытов с разной экспозицией. На рисунке 10 приведены фотографии, полученные именно таким способом.

Попробуйте провести подобные опыты самостоятельно.

Упражнения

1. Докажите, что все кривые, описываемые системой уравнений $$ \begin{array}{l} x=A_1\cos p\omega t,\\ y=A_2\cos q\omega t, \end{array} $$ незамкнуты.

2. Получите уравнение кривой $$ \begin{array}{l} x=A_1\cos\omega t,\\ y=A_2\cos2\omega t. \end{array} $$