Текст статьи Готман Э. Г. Теорема косинусов и её следствия // Квант. — 1972. — № 7. — С. 29—32.
В этой статье рассказывается о том, как с помощью теоремы косинусов решать разнообразные геометрические задачи.
Сама теорема косинусов не доказывается.
Для вычисления элементов треугольника по двум сторонам и углу между ними или по трём сторонам применяется соотношение $$ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,\tag{*} $$ называемое «теоремой косинусов».
Теорему косинусов можно использовать и при решении более трудных задач.
Пример 1. Найти площадь параллелограмма, если известны его стороны
Решение. Пусть
Если обозначить длину диагонали
Примечание. Если
С помощью известных формул геометрии и тригонометрии из теоремы косинусов можно вывести некоторые соотношения, связывающие элементы любого треугольника.
Пример 2. Доказать, что стороны, углы и площадь
Решение. Из формулы
Если в соответствии с этой формулой выразить через стороны треугольника
Пример 3. Доказать, что для любого треугольника справедливы неравенства
- $$\sin\dfrac A2\le\dfrac a{2\sqrt{bc}},$$
- $$\tg\dfrac A2\le\dfrac a{2h_a},$$
где
Решение. а) Формулу (*) можно записать так:
$$
a^2=(b-c)^2+2bc(1-\cos A).
$$
Если
б) Формулу (2) легко привести к такому виду: $$ a^2=(b-c)^2+4S\tg\dfrac A2.\tag3 $$
Для этого достаточно выполнить следующие преобразования: $$ bc\sin^2\dfrac A2=\dfrac{2S}{\sin A}\sin^2\dfrac A2=\dfrac{2S\sin^2\dfrac A2}{2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2}=S\tg\dfrac A2. $$
Из формулы (3) вытекает неравенство
Из приведённых примеров видно, что формулу $$ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A $$ с помощью несложных преобразований можно привести к одному из видов (1)—(3). Аналогично выводятся следующие соотношения: $$ \begin{align*} a^2&=(b+c)^2-4bc\cos^2\dfrac A2,\tag4\\ a^2&=(b+c)^2-4S\ctg\dfrac A2.\tag5 \end{align*} $$
Рассмотрим теперь несколько задач, решающихся с помощью формул (1)—(5).
Пример 4. Вычислить площадь треугольника, если даны его стороны.
Решение. Перепишем соотношения (3) и (5) следующим образом:
$$
\begin{align*}
4S\tg\dfrac A2&=a^2-(b-c)^2,\\
4S\ctg\dfrac A2&=(b+c)^2-a^2.
\end{align*}
$$
Если периметр треугольника обозначить через
Перемножив эти равенства почленно, получим известную формулу Герона для вычисления площади треугольника $$ S^2=p(p-a)(p-b)(p-c). $$
Пример 5. Дан равносторонний треугольник
Решение. Обозначим отрезки
Примечание. Из полученной формулы видно, что
Отсюда следует, что при
Таким образом, множество допустимых значений параметра
Пример 6. Данный треугольник разделить на две равновеликие части отрезком наименьшей длины.
Решение. Пусть отрезок
Длину отрезка
Ясно, что если концы отрезка
Пусть
Поэтому длина минимального отрезка
Построение отрезка
В заключение приведём несколько задач, которые предлагаем читателю решить самостоятельно.
- На сторонах треугольника с углом
$60^\circ$ вне его построены равносторонние треугольники. Докажите, что сумма площадей данного треугольника и треугольника, построенного на стороне, противолежащей углу в$60^\circ$, равна сумме площадей двух других треугольников. - На сторонах треугольника
$ABC$, угол$C$ которого равен$135^\circ$, вне его построены квадраты$ABMN$, $BCKL$ и$CAPQ$. Докажите, что площадь шестиугольника$KLMNPQ$ равна удвоенной площади квадрата$ABMN$. - Вычислите площадь параллелограмма
$ABCD$, если$AB=5$, $BC=2$ и угол между его диагоналями составляет$45^\circ$. - Выразите тригонометрические функции половинных углов треугольника через его стороны.
- Докажите, что стороны треугольника
$ABC$ удовлетворяют равенству$a^2+b^2=2c^2$ тогда и только тогда, когда углы треугольника связаны соотношением $$ \ctg A+\ctg B=2\ctg C. $$ - Стороны треугольника
$ABC$ связаны зависимостью$a^2+b^2=nc^2$, где$n\gt1$. Докажите, что$\cos C\ge\dfrac{n-1}n$. - Докажите, что углы любого треугольника удовлетворяют неравенству $$ \tg\dfrac A2+\tg\dfrac B2+\tg\dfrac C2\le\ctg A+\ctg B+\ctg C. $$
- В окружность вписан равносторонний треугольник со стороной
$a$. Докажите, что $$ x^2+y^2+z^2=2a^2, $$ где$x$, $y$, $z$ — расстояния от произвольной точки окружности до вершин треугольника. - В треугольник
$ABC$ вписана окружность, которая касается сторон$AB$ и$AC$ в точках$M$ и$N$. Определите угол$A$ треугольника, если$\dfrac{AM}{MB}=\dfrac16$ и$\dfrac{AN}{NC}=\dfrac17$. - Найдите площадь треугольника
$ABC$, зная угол$A$ и отрезки$m$ и$n$, на которые точка касания вписанной окружности делит сторону$BC$. Даны прямая
$l$ и две точки$A$ и$B$, не лежащие на ней. Найдите на прямой$l$ точку$M$, для которой отношение$\dfrac{AM}{BM}$ принимает- наибольшее значение;
- наименьшее значение.
- Докажите, что углы любого треугольника удовлетворяют неравенству $$ \sin\dfrac A2\sin\dfrac B2\sin\dfrac C2\le\dfrac18. $$
- Около окружности радиуса
$r$ описана трапеция с основаниями$a$ и$b$ ($a\gt b$). Вычислить угол между её боковыми сторонами. - Докажите, что для всякого треугольника
$ABC$ справедливо такое соотношение: $$ \begin{aligned} 16S^2&=(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\mathrel+\\ &\mathrel+(b^2+c^2-a^2)(a^2+b^2-c^2)\mathrel+\\ &\mathrel+(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2). \end{aligned} $$
Ответы, указания, решения
- Задача решения не имеет, так как неравенство
$\tg\alpha\le\dfrac{2ab}{a^2-b^2}$ при$a=5$, $b=2$ и$\alpha=45^\circ$ не выполняется (см. пример 1). - $$\sin\dfrac A2=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{bc}},\quad\cos\dfrac A2=\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}},\quad\tg\dfrac A2=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}.$$
- Показать, что для всякого треугольника имеет место соотношение $$ \ctg A+\ctg B-2\ctg C=\dfrac{2c^2-a^2-b^2}{2S}. $$
- Установить, что
$$
\cos C=\dfrac{(n-1)(a^2+b^2)}{2nab},
$$
и применить неравенство
$\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2$. - Воспользоваться неравенством
$\tg\dfrac A2\le\dfrac{a^2}{4S}$ и соотношением $$\ctg A+\ctg B+\ctg C=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}.$$ $120^\circ$. - Пусть
$BC=a$, $AB=c$ и$CA=b$. Тогда$|b-c|=|m-n|$ и$a=m+n$. Поэтому по формуле$a^2=(b-c)^2+4S\tg\dfrac A2$ имеем$(m+n)^2=(m-n)^2-4S\tg\dfrac A2$. Отсюда$S=mn\ctg\dfrac A2$. В частности, если$\angle A=90^\circ$, то$S=mn$. - Пусть перпендикуляр к отрезку
$AB$, проведённый через его середину, пересекает прямую$l$ в точке$O$. Тогда$OM=x$, $OA=OB=r$, $\angle AOM=\alpha$, $\angle BOM=\beta$ и $$ \left(\dfrac{AM}{BM}\right)^2=\dfrac{(r-x)^2+4rx\sin^2\dfrac\alpha2}{(r-x)^2+4rx\sin^2\dfrac\beta2}. $$ Затем воспользоваться известным неравенством$\dfrac{a+m}{b+m}\ge\dfrac ab$ (при$0\lt a\lt b$ и$m\ge0$). - Воспользуйтесь результатом а) примера 3.
Рис. 2 Перенесём боковую сторону
$AB$ трапеции$ABCD$ на вектор$\overrightarrow{BC}$ в положение$CF$ (рис. 2). Получим треугольник$CDF$. Требуется определить угол$\alpha=\angle FCD$. На основании свойства сторон описанного четырёхугольника имеем:
$AB+CD=a+b$, так что$CF+CD=a+b$. Кроме того,$DF=a-b$. Применим к треугольнику
$CDF$ формулу (5) (из статьи): $$ DF^2=(CF+CD)^2-4S\ctg\dfrac\alpha2, $$ где$2S=DF\cdot CH$, а$CH=2r$. Подставив данные, получим $$ (a-b)^2=(a+b)^2-4(a-b)r\ctg\dfrac\alpha2, $$ откуда $$ \tg\dfrac\alpha2=\dfrac{(a-b)r}{ab}. $$Примечание. Можно доказать, что задача имеет решение тогда и только тогда, когда параметры
$a$, $b$ и$r$ удовлетворяют условию$2r\le\sqrt{ab}$. - Воспользуйтесь формулой (1) и тем, что если
$A+B+C=\pi$, то $$\tg A+\tg B+\tg C=\tg A\tg B\tg C.$$
