Текст статьи Фишман В. М. Школьники расчищают каток // Квант. — 1972. — № 6. — С. 35, 50.
Группа школьников расчищает лопатами каток, покрытый ровным слоем снега. Действуя оптимальным образом, они расчищают круглый каток радиусом 10 м (рис. 1) за 1 ч. За сколько времени они смогут расчистить каток радиусом 20 м? Что школьники расчистят быстрее — этот каток или хоккейную площадку, имеющую форму прямоугольника
Ответы, указания, решения
Работа затрачивается на то, чтобы вынести снег за пределы катка. Каждый комок снега выгоднее всего нести к ближайшей точке на границе катка (по радиусу). Следовательно, работа, которую школьники должны при этом затратить, пропорциональна расстоянию от комка снега до края катка, поэтому она пропорциональна объему столбика над кусочком снега, высота столбика равна расстоянию от кусочка снега до края катка. Построим все такие столбики; тогда работа по расчистке катка будет численно равна сумме объемов всех столбиков. Для круглого катка столбики заполняют прямой круговой конус с прямым углом при вершине (рис. 1). Если
Хоккейную площадку школьники смогут расчистить значительно быстрее. Столбики, построенные над хоккейной площадкой, заполняют тело, имеющее форму «крыши сарая» (рис. 2).
Объём «крыши сарая» легко вычислить, а если сравнить полученный объём с объёмом кругового конуса, то получится, что школьники расчистят хоккейную площадку за шесть часов.