«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Выберем на высоте $BH$ треугольника $ABC$ произвольную точку $P$. Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AP$ и $BC$, $L$ — точка пересечения прямых $CP$ и $AB$. Докажите,…
а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами $1$, $2$, $\ldots$, $12$ так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же.
б)* Можно ли вычеркнуть одно из чисел $1$,…
Найдите наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется следующее условие: если $n$ делится на $p-1$ и $p$ простое, то $n$ делится на $p$.
Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа $a$, $b$, $\alpha$, $\beta$, чтобы прямоугольник $a\times b$ можно было разрезать на несколько прямоугольников $\alpha\times\beta$.
Например, можно ли…
$A$ обещает платить $B$ в среднем $\sqrt{2}$ руб. в день. Они условились, что в $n$-й день $A$ будет получать целое число $a_n$ рублей ($a_n$ равно 1 или 2) с таким расчётом, чтобы сумма, полученная за…
Текст задачи готовится
Оцените, сколько капелек воды имеется в $1~\text{м}^3$ тумана, если видимость составляет 10 м и туман оседает через 2 часа? Высота слоя тумана 200 м.
Сила сопротивления воздуха, действующая на каплю воды радиуса $R~\text{(м)}$, движущуюся со скоростью…
В колонию, состоящую из $n$ бактерий, попадает один вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию, затем делится на два новых вируса, и одновременно каждая из оставшихся бактерий тоже делится на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожают две бактерии, и…
Множество на плоскости, состоящее из конечного числа точек обладает следующим свойством: для любых двух точек $A$ и $B$ множества найдётся точка $C$ множества такая, что треугольник $ABC$ равносторонний. Сколько точек может содержать…
Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} x^2+y^2+xy=a,\\ x^2-y^2=b, \end{array}\right. $$ где $a$ и $b$ — некоторые действительные числа.
Внутри треугольника $ABC$ лежат такие две точки $P$ и $Q$, что отрезки $AP$ и $AQ$ составляют равные углы с биссектрисой угла $A$ треугольника, а отрезки $BP$ и $BQ$ составляют…
Сумма цифр числа после умножения на 8 может уменьшиться: $75\cdot 8=300$ — сумма цифр была $7+5=12$, а стала 3. Однако она не может уменьшиться более чем в 8 раз.
Докажите, что $$ \dfrac{S(8M)}{S(M)}\geq\dfrac{1}{8}, $$ где $M$ — натуральное число, а $S(A)$ — сумма…
