Текст статьи Виленкин А. Н., Шнирельман А. И. Справедливый выбор // Квант. — 1972. — № 4. — С. 25—27.
Однажды два школьника Алёша и Боря нашли монетку и стали думать, как её разделить между собой, чтобы было по-честному. Решено было подбросить найденную монетку: если она упадёт кверху решёткой (цифрой), то её возьмёт Алёша, а если сверху окажется герб, то монетка достанется Боре. Так они и сделали. Монетка досталась Алёше.
На другой день они опять нашли монетку, только на этот раз с ними был ещё Витя. Теперь монетку надо было делить уже на троих. Для этого под рукой была лишь монетка.
Школьники начали рассуждать. «Если бы с нами был ещё Гриша, то проблема была бы решена — мы бы подбросили монетку два раза и распределили её в зависимости от выпаданий решётки и герба следующим образом: РР — Алёше, РГ — Боре, ГР — Вите, ГГ — Грише. Но Гриша не появлялся, и школьники начали думать.
Первым нарушил молчание Витя. Он сказал: «Гриши нет, но давайте считать, что он тут, подбросим монетку два раза и посмотрим, кому она должна достаться. Если Грише, то бросим её заново, а если кому-нибудь из нас, то он её и возьмёт.
В этот момент Алёша придумал ещё один способ. Алёша вспомнил, как им рассказывали про приближение действительных чисел десятичными дробями, и провёл целое математическое исследование. Вот что он сказал.
«Ребята! Я вспомнил, как мы разделили монетку вчера, и думаю, что мы можем так же разделить её и сегодня». Ребята, конечно, не поняли, и Алёша начал объяснять.
«Бросания монетки можно рассматривать как определение очередной цифры некоторого числа. Выпаданию решётки сопоставим цифру 0, а гербу — 1. Теперь возьмём отрезок числовой оси
Геометрически это можно изобразить так. При первом бросании мы определяем, в правой или в левой половине отрезка
Вчера мы сделали так: разбили отрезок
А сегодня мы можем разделить отрезок на три равные части:
Боря начал спорить. Он сказал, что последовательности
Споры продолжались, но тут заговорил и Витя. Он сказал вот что. «У нас есть два способа разделить монетку на троих и один способ разделить её на двоих. Давайте этим способом определим, каким из двух способов делить её на троих, и разделим, а то домой пора — сегодня «Динамо» играет».
Алёша и Боря сразу согласились. Боря подбросил монетку, выпал Витин способ, а ещё после двух бросаний монетка и досталась Вите. Ребята пошли домой, обсуждая достоинства и недостатки предложенных ими способов, а также пытаясь оценить, сколько бросаний могло реально потребоваться по Алёшиному способу.
Попробуйте и вы решить несколько задач, предположив, что ребята нашли хорошую монетку, при бросании которой в среднем в половине случаев выпадает герб, а в половине — решётка.
- Проверьте, что после
$k$ бросаний определён лишь отрезок длины$2^{-k}$, в котором лежит точка$A$. - По Алёшиному способу хозяин монетки не выявлен, если часть, указанная монеткой, содержащая по определению точку
$A$, содержит также одну из «критических» точек$\dfrac13$, или$\dfrac23$. Выпишите последовательности, соответствующие этим точкам. Найдите, в какой части случаев (после$k$ бросаний) мы всё ещё рискуем оказаться в одной из указанных точек. (Доказав, что выпадание монетки по строго определённому закону маловероятно, мы избавимся от первого Бориного возражения.) - Проверьте, что Витин способ можно описать в Алёшиной терминологии так. Мы определяем с помощью монетки число
$A$, но отрезок$(0,1)$ распределяем более хитро: $$ \begin{aligned} \text{Алёша:}\quad&\left(0;\dfrac14\right){,}\enspace\left(\dfrac{12}{16};\dfrac{13}{16}\right){,}\enspace\left(\dfrac{60}{64};\dfrac{61}{64}\right){,}\enspace{\ldots};\\ \text{Боря:}\quad&\left(\dfrac14;\dfrac24\right){,}\enspace\left(\dfrac{13}{16};\dfrac{14}{16}\right){,}\enspace\left(\dfrac{61}{64};\dfrac{62}{64}\right){,}\enspace{\ldots};\\ \text{Витя:}\quad&\left(\dfrac24;\dfrac34\right){,}\enspace\left(\dfrac{14}{16};\dfrac{15}{16}\right){,}\enspace\left(\dfrac{62}{64};\dfrac{63}{64}\right){,}\enspace{\ldots}. \end{aligned} $$ При таком разбиении отрезка$(0,1)$ возникает много «критических» точек, как Витя предлагал их распределять? - Докажите, что доля случаев, в которых один из школьников после
$2k$ бросаний монетки получает монетку (по Витиному способу), равна сумме длин тех «его» частей отрезка$(0,1)$, в которых может оказаться точка$A$ после$2k$ бросаний. - Докажите, что Витин способ выбора владельца монетки справедлив.
- Используя задачу 1, обобщите задачу 4 для Алёшиного способа в предположении, что после
$2k$ бросаний владелец монетки определён. - Докажите, что Алёшин способ справедлив.
Используя задачу 4, найдите долю случаев, в которых после
$2k$ бросаний владелец монетки не определён- по Алёшиному способу;
- по Витиному способу.
Какой из способов рациональнее? Ответив на этот вопрос, вы ответите и на второе Борино возражение.
Ответы, указания, решения
$\dfrac13=0{,}010101{\ldots}$, $\dfrac23=0{,}101010{\ldots}$. После$2k$ бросаний отрезок$(0,1)$ разбивается на$2^{2k}$ равных частей, в двух из них находится по критической точке. Значит, в$\dfrac2{2^{2k}}=\dfrac1{2^{2k-1}}$ части случаев мы рискуем оказаться в одной из точек$\dfrac13$ или$\dfrac23$. Часть
$\left(0,\dfrac34\right)$ делится как обычно, а выпадание ГГ, соответствующее части$\left(\dfrac34,1\right)$ вчетверо меньшей длины, влечёт за собой новые бросания, т. е. раздел этой части (и т. д.). Но происходит оно лишь при условии, что ГГ уже выпало, т. е. в одной четверти случаев.«Критическими» являются все концы отрезков, фигурирующих в условии задачи 3. Витя предлагал левый конец присоединять к отрезку, а правый — нет. Обычно это записывают так:
$\left[0,\dfrac14\right)$ — точка 0 лежит в отрезке, а$\dfrac14$ — нет.- Длины отрезков каждого из школьников равны между собой.
- Любому из
$2^{2k}$ вариантов выпадания монетки соответствует часть отрезка$[0,1]$ длины$\dfrac1{2^{2k}}$. Способы, в которых один из школьников получает монетку, соответствуют «его» частям отрезка. - После
$2k+1$ бросаний два отрезка не определяют владельца монетки, а $$ 2^{2k+1}-2=2(2^{2k}-1), $$ что делится на 3. После нечётного числа бросаний у школьников оказывается равное число отрезков, а потому Алёшин способ справедлив. Для чётного числа бросаний надо (формально) сделать ещё одно бросание, оно не изменит исхода выбора. Разница лишь в том, что Боре тяжелее «оформить» получение монетки (рядом с ним обе критические точки!). - После
$2k$ бросаний получаются две «неопределённые» части$\Big($ содержащие точки$\dfrac13$ и$\dfrac23\Big)$, $\dfrac1{2^{2k}}$. - В этом случае получается лишь один отрезок
$\left(\dfrac{2^{2k-1}}{2^{2k}},1\right)$ длины$\dfrac1{2^{2k}}$.
Витин способ немного рациональнее.
- После