Текст статьиПетров С. М. Конус максимального объёма в природе // Квант. — 1972. — № 4. — С. 28—29.
Рассмотрим известную задачу:
Задача 1. Угол при вершине в осевом сечении конуса равен $\alpha$. Найти центральный угол $\beta$ в развёртке его боковой поверхности.
Решение. Изобразим на рисунке 1 осевое сечение конуса и на рисунке 2 — его развёртку. Замечаем, что $2\pi R=\beta l$ или $$
\beta=2\pi\dfrac RL=2\pi\sin\dfrac\alpha2.\tag1
$$
Рис. 1Рис. 2
Задача 2. Дан круг радиуса$L$ (рис. 2). Вырезать из него развёртку конуса наибольшего объёма.
Если зафиксировать образующую $L$ и менять угол $\alpha$, то объём $V$ достигнет наибольшего значения одновременно с функцией
$$
y=\sin^2\dfrac\alpha2\cos\dfrac\alpha2,\tag3
$$
где $0\lt\alpha\lt\pi$.
Сделаем замену переменных: $\sin\dfrac\alpha2=u$. Тогда
$$
y=u^2\sqrt{1-u^2}=\sqrt{u^4(1-u^2)}=\sqrt{\dfrac12u^2u^2(2-2u^2)}.
$$
Так как $u^2+u^2+(2-2u^2)=2=\text{const}$, то подкоренное выражение достигнет своего максимума при $u^2=u^2=2-2u^2$. Отсюда $u^2=\dfrac23$, и $$
\begin{gather*}
\sin\dfrac\alpha2=\dfrac{\sqrt6}3,\tag4\\
\alpha=2\arcsin\dfrac{\sqrt6}3\approx2\arcsin\dfrac{2{,}44949}3\approx2\arcsin0{,}8165=2\cdot54^\circ\,44'=109^\circ\,28'.\tag5
\end{gather*}
$$
Учитывая (1) и (4), находим
$$
\beta=2\pi\dfrac{\sqrt6}3=\dfrac{2\pi}3\sqrt6\approx120^\circ\cdot2{,}44949\approx293^\circ\,56'.\tag6
$$
Вычислим максимальный объём конуса. Для этого найденное в (4) значение $\sin\dfrac\alpha2$ подставим в (2):
$$
V_{\text{max}}=\dfrac13\pi L^3\Bigl(\dfrac{\sqrt6}3\Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\dfrac{\sqrt6}3\Bigr)^ 2}=\dfrac13\pi L^3\cdot\dfrac23\cdot\dfrac{\sqrt3}3=\dfrac{2\pi L^3\sqrt3}{27}=0{,}4030L^3.\tag7
$$
Интересно отметить, что такие конусы встречаются в природе, разумеется, с известным приближением. Вот один физический пример.
Задача 3. Пусть электрическая лампочка может передвигаться (например, на блоке) по вертикальной прямой $OB$ (рис. 3). На каком расстоянии от горизонтальной плоскости $OA$ её следует поместить, чтобы в точке $A$ получить наибольшую освещённость?
Рис. 3
Решение. Известно, что освещённость $E$ пропорциональна косинусу угла падения лучей $\left(\angle BAN=\dfrac\alpha2\right)$ и обратно пропорциональна квадрату расстояния ($AB=L$), т. е.
$$
E=C\cdot\dfrac{\cos\dfrac\alpha2}{L^2},\tag8
$$
где $C$ зависит от силы света лампочки.
Учитывая, что $L=\dfrac R{\sin\dfrac\alpha2}$‚ приведём формулу (8) к виду
$$
E=\dfrac C{R^2}\sin^2\dfrac\alpha2\cos\dfrac\alpha2.
$$
Подмечаем, что $E$ пропорциональна функции (3), т. е. данная задача свелась к задаче 2.
Таким образом, если лампочку поместить в вершине конуса максимального объёма, то окружность его основания получит наибольшую освещённость (!).
Наконец, ещё одно явление.
В учебнике по органической химии Л. А. Цветкова (М.: Просвещение, 1969, стр. 16) находим: «Все валентные связи атома углерода направлены к вершинам тетраэдра, одинаково удалены друг от друга, угол между ними составляет $109^\circ\,28'$».
Проверим, что и здесь появляется осевое сечение конуса наибольшего объёма.
Рис. 4
Пусть в центре $O$ правильного тетраэдра $SABC$ (рис. 4) находится атом углерода, а четыре валентности направлены к его вершинам. Докажем, что треугольники $AOS$, $BOS$ являются осевыми сечениями конуса максимального объёма, т. е., что например,
$$
\sin\dfrac{\angle AOS}2=\dfrac{\sqrt6}3.
$$
Обозначим $\angle AOS$ через $\alpha$. Проведём $ON\perp AS$, тогда $\angle NOS=\dfrac\alpha2$. Далее, $\triangle AO_1S\roundsim\triangle ONS$ (очевидно). Отсюда $\angle SAO_1=\angle NOS=\dfrac\alpha2$.
Если обозначить ребро тетраэдра через $a$, то $AO_1=\dfrac{a\sqrt3}3$, $SO_1=\sqrt{AS^2-AO_1^2}=\dfrac{a\sqrt6}3$.
Следовательно,
$$
\sin\dfrac\alpha2=\sin\angle NOS=\sin\angle SAO_1=\dfrac{SO_1}{AS}=\dfrac{a\sqrt6}{3a}=\dfrac{\sqrt6}3,
$$
что соответствует формуле (4).
Интерес вызывает построение графика функции $$y=\sin^2x\cos x,$$ которое мы предоставляем читателям.
