Изображения страниц
Текст статьи Задачи // Квант. — 1972. — № 3. — С. 55.
- Найти все треугольники с целочисленными сторонами, площадь которых выражается тем же числом, что и периметр.
- На плоскости даны два непараллельных отрезка
$AB$ и$CD$. Построить такую точку$P$, что треугольники$PAB$ и$PCD$ подобны, причём углы$APB$ и$CPD$ равны. Дан треугольник
$ABC$. Построить такую точку$M$, что если$A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки пересечения прямых$BC$ и$AM$, $CA$ и$BM$, $AB$ и$CM$, то$M$ является центром тяжести треугольника$A_1B_1C_1$. Обобщить задачу на случай, когда
$M$ — центр тяжести системы заданных масс$m_A$, $m_B$, $m_C$, помещённых в точках$A_1$, $B_1$, $C_1$. - Дан треугольник
$ABC$. На его высотах отложены отрезки$AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, имеющие соответственно длины$l$, $m$, $n$. Найти площадь треугольника$A_1B_1C_1$. - Доказать, что для любого треугольника справедливо неравенство
$p^2-bc\gt S\sqrt3$ ($a$, $b$, $c$ — длины сторон,$p$ — полупериметр,$S$ — площадь треугольника). Дан треугольник
$ABC$. Проведём окружность с центром$A$ и радиусом, равным высоте$AD$, и прямую через точки пересечения этой окружности со сторонами$AB$ и$AC$. Аналогичное построение выполним для двух других вершин треугольника. Доказать, что получившиеся прямые пересекаются в таких точках$A_1$, $B_1$, $C_1$, что- точки
$A_1$, $B_1$, $C_1$ лежат на биссектрисах углов$A$, $B$, $C$ треугольника$ABC$; - треугольник
$A_1B_1C_1$ подобен треугольнику, вершинами которого являются точки касания сторон треугольника$ABC$ с вписанной окружностью; - центр окружности, вписанной в
$ABC$, является точкой пересечения высот треугольника$A_1B_1C_1$.
- точки