Клейман Я. М.

Неужели открытие?Клейман Я. М. Неужели открытие? // Квант. — 1972. — № 3. — С. 33.‍‍

После рассмотрения приближённых численных решений уравнений высших степеней методами проб, хорд, касательных и итераций на итоговом факультативном занятии по теме: «Приближённые решения уравнений», учащиеся попробовали исследовать следующий «новый» метод численного решения уравнений.

Пусть на отрезке $a\le x\le b$‍‍ уравнение $f(x)=0$‍‍ имеет единственный корень $x_0$‍,‍ а функция $f(x)$‍‍ непрерывна на этом отрезке и на концах его принимает значения разных знаков. Проведём хорды $AC$‍‍ и $BC$‍‍ дуги графика заданной функции на отрезке $[a,b]$‍.‍ Запишем уравнение прямой, проходящей через точки $A[b;f(b)]$‍‍ и $C(x_0;0)$‍:‍ $$ \dfrac{f(b)-y}{f(b)-0}=\dfrac{b-x}{b-x_0}, $$ из которого находим $$ y=f(b)-\dfrac{b-x}{b-x_0}f(b). $$ Аналогично запишем уравнение прямой, проходящей через точки $B[a;f(a)]$‍‍ и $C(x_0;0)$‍:‍ $$ \dfrac{f(a)-y}{f(a)-0}=\dfrac{a-x}{a-x_0}, $$ откуда $$ y=f(a)-\dfrac{a-x}{a-x_0}f(a). $$ Чтобы найти координаты точки пересечения этих прямых, решим систему $$ \left\{\begin{array}{l} y=f(b)-\dfrac{b-x}{b-x_0}f(b),\\\\[-6pt] y=f(a)-\dfrac{a-x}{a-x_0}f(a). \end{array}\right. $$

Выписывая цепочку равенств $$ \begin{gather*} f(b)-\dfrac{b-x}{b-x_0}f(b)=f(a)-\dfrac{a-x}{a-x_0}f(a),\\\\[-6pt] f(b)\left[1-\dfrac{b-x}{b-x_0}\right]=f(a)\left[1-\dfrac{a-x}{a-x_0}\right],\\\\[-6pt] f(b)\cdot\dfrac{x-x_0}{b-x_0}=f(a)\cdot\dfrac{x-x_0}{a-x_0},\\\\[-6pt] \dfrac{f(b)}{f(a)}=\dfrac{b-x_0}{a-x_0}, \end{gather*} $$ находим $$ x_0=\dfrac{bf(a)-af(b)}{f(a)-f(b)}. $$

Получена формула для корня данного уравнения $f(x)=0$‍!‍ Учащиеся от неожиданного результата с большим возбуждением восторженно воскликнули даже: «Эврика!».

Но через несколько минут в аудитории восстановилась тревожная тишина. Все были ошеломлены и каждого мучал вопрос: «Как же так?». Крупные учёные-математики Абель и Эварист Галуа дали исчерпывающее доказательство, что для всех уравнений выше четвёртой степени составить формулы точного решения нельзя.

Где же была допущена ошибка?