Изображения страниц
Текст статьи Задачи арифметические и алгебраические // Квант. — 1972. — № 2. — С. 31.
Найти все числа
$x$ такие, что$x^3=7p+1$, где$p$ — простое число.Нечётные числа расположены в порядке возрастания 1, 3, 5, 7,
$\ldots$; после чего разбиты на группы, содержащие 1, 2, 3, 4,$\ldots$ числа, т. е. так:$(1)$, $(3,5)$, $(7,9,11)$, $(13,15,17,19)$, $\ldots$ Доказать, что сумма чисел, принадлежащих группе из$r$ чисел, равна$r^3$. Далее, пусть тe же числа разбиваются на группы, состоящие из 1, 1, 4, 3, 9, 6,
$\ldots$, $r^2$, $\dfrac{r(r+1)}2$, $(r+1)^2$, $\ldots$ чисел.Доказать, что сумма чисел, находящихся в группе из
$r^2$ чисел, равна$r^5$. Доказать, что существует бесконечно много четвёрок натуральных чисел
$a$, $b$, $c$, $d$ таких, что$(a^3+b^3)(c^3+d^3)$ можно представить в виде$M^3+N^3$, где$M$, $N$ — натуральные числа.Сколько чисел, делящихся на 37, можно получить из числа 33337777 перестановками его цифр?
Найти рациональные числа
$x$ и$y$ такие, что$0\lt x\lt3$, $y\gt4$, и$x^3+y^3=3^3+4^3$. Написать уравнение, корнями которого являются отношения корней уравнения
$y^3+py+q=0$. Обозначим через
$t_k$ среднее арифметическое$k$ -х степеней положительных чисел$a_1$, $\ldots$, $a_n$. Доказать, что последовательность$t_1$, $t_2^{1/2}$, $\ldots$, $t_k^{1/k}$ не убывает.